Toán lớp 10 tập 1 trang 118 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 118 bài 3 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 118

Bài 1 trang 118 Toán lớp 10 tập 1

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Hướng dẫn giải: :

a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

+) Số trung bình:$\overline x = \frac{{23 + 41 + 71 + 29 + 48 + 45 + 72 + 41}}{8} = 46,25$

+) Tứ phân vị:${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:$23;{\rm{ }}29;{\rm{ }}41;{\rm{ }}41;\;{\rm{ }}45;{\rm{ }}48;\;71;72$

Bước 2: n = 8, là số chẵn nên ${Q_2} = {M_e} = \frac{1}{2}(41 + 45) = 43$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu $23;{\rm{ }}29;{\rm{ }}41;{\rm{ }}41$. Do đó ${Q_2} = \frac{1}{2}(29 + 41) = 35$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu $45;{\rm{ }}48;\;71;72.$

Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(48 + 71) = 59,5$

+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt ${M_o}$ = 41

b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

+) Số trung bình:$\overline x = \frac{{12 + 32 + 93 + 78 + 24 + 12 + 54 + 66 + 78}}{9} \approx 49,89$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12;{\rm{ }}12;{\rm{ }}24;{\rm{ }}32;{\rm{ }}54;{\rm{ }}66;{\rm{ }}78;{\rm{ }}78;\;93$

Bước 2: n = 9, là số lẻ nên${Q_2} = {M_e} = 54$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu $12;{\rm{ }}12;{\rm{ }}24;{\rm{ }}32. Do đó {Q_2} = \frac{1}{2}(12 +24) = 18$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu $66;{\rm{ }}78;{\rm{ }}78;\;93. Do đó {Q_3} = \frac{1}{2}(78 + 78) = 78$

+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt ${M_o} = 12,{M_o} = 78.$

Bài 2 trang 118 Toán lớp 10 tập 1

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

Lời giải:

a) Bảng số liệu là bảng tần số.

Cỡ mẫu là n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37.

Số trung bình của mẫu là: $\overline x = \frac{{23.6 + 25.8 + 28.10 + 31.6 + 33.4 + 37.3}}{{6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3}} \approx 28,3$

Giá trị 28 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là M₀ = 28.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37.

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 28.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28. Do đó Q­1 = 25.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37. Do đó Q3 = 31.

b) Bảng số liệu là bảng tần số tương đối.

Số trung bình là:$\overline x = \frac{{0.0,6 + 2.0,2 + 4.0,1 + 5.0,1}}{{0,6 + 0,2 + 0,1 + 0,1}} = 1,3$

Tần số tương đối là tỉ số của tần số với cỡ mẫu, do đó, giá trị có tần số tương đối lớn nhất thì có tần số lớn nhất, vậy giá trị 0 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là Mo = 0.

Giả sử cỡ mẫu là n = 10, khi đó:

Tần số của giá trị 0 là 0,6 . 10 = 6.

Tần số của giá trị 2 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 4 là 0,1 . 10 = 1.

Tần số của giá trị 5 là 0,1 . 10 = 1.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 2; 4; 5.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0. Do đó Q1 = 0.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 0; 2; 2; 4; 5. Do đó Q3 = 2.

Bài 3 trang 118 Toán lớp 10 tập 1

An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Số bóng đỏ 0 1 2 3

Số lần 10 30 40 20

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Hướng dẫn giải:

+) Số trung bình: $\overline x = \frac{{0.10 + 1.30 + 2.40 + 3.20}}{{100}} = 1,7$

+) Tứ phân vị:${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm,

$\underbrace {0,…,0}_{10},\underbrace {1,…,1}_{30},\underbrace {2,…,2}_{40},\underbrace {3,…,3}_{20}.$

Bước 2: Vì n = 100, là số chẵn nên ${Q_2} = \frac{1}{2}(2 + 2) = 2$

{Q_1} là trung vị của nửa số liệu:

$\underbrace {0,…,0}_{10},\underbrace {1,…,1}_{30},\underbrace {2,…,2}_{10}$. Do đó ${Q_1} = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$

{Q_3} là trung vị của nửa số liệu

$\underbrace {2,…,2}_{30},\underbrace {3,…,3}_{20}. Do đó {Q_3} = \frac{1}{2}(2 + 2) = 2$

+) Mốt ${M_o}$ = 2

Bài 4 trang 118 Toán lớp 10 tập 1

Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí nghiệm ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Hướng dẫn giải: :

a.

+) Số trung bình:$\overline x = \frac{{1.5 + 3.6 + 5.7 + 2.8 + 1.35}}{{1 + 3 + 5 + 2 + 1}} = 9,08$

+) Tứ phân vị :${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, 5,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,35

Bước 2: Vì n = 12, là số chẵn nên ${Q_2} = \frac{1}{2}(7 + 7) = 7$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 5,6,6,6,7,7 Do đó ${Q_1} = \frac{1}{2}(6 + 6) = 6$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu 7,7,7,8,8,35 Do đó ${Q_3} = \frac{1}{2}(7 + 8) = 7,5$

+) Mốt ${M_o}$ = 7

b.

+) Nếu so sánh số trung bình: 9,08 > 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong năm nay là lớn hơn so với năm trước.

+) Nếu so sánh trung vị: Trung vị của hai năm đều bằng 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau.

Do có 1 thí sinh có thời gian thi lớn hơn hẳn so với các thí sinh khác => nên so sánh theo trung vị.

Bài 5 trang 118 Toán lớp 10 tập 1

Bác Dũng và bác Thu ghi lại só điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

d) Theo bạn, nên dùng số trung bình hay số trung vị để so sánh xem ai có nhiều cuộc gọi điện thoại hơn mỗi ngày?

Hướng dẫn giải:

a) Bác Dũng:

+) Số trung bình: $\overline x = \frac{{2 + 7 + 3 + 6 + 1 + 4 + 1 + 4 + 5 + 1}}{{10}} = 3,4$

+) Tứ phân vị:${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, 1,1,1,2,3,4,4,5,6,7

Bước 2: Vì n = 10, là số chẵn nên {Q_2} = \frac{1}{2}(3 + 4) = 3,5

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 1,1,1,2,3 Do đó {Q_1} = 1

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu 4,4,5,6,7 Do đó ${Q_3}$ = 5

+) Mốt ${M_o}$ = 1

Bác Thu

+) Số trung bình: $\overline x = \frac{{1 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 20 + 2}}{{10}} = 3,9$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, 1,1,1,2,2,2,3,3,4,20

Bước 2: Vì n = 10, là số chẵn nên ${Q_2} = \frac{1}{2}(2 + 2) = 2$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 1,1,1,2,2 Do đó ${Q_1}$ = 1

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu 2,3,3,4,20 Do đó ${Q_3}$ = 3

+) Mốt ${M_o}$ = 1,${M_o}$ = 2

b) Do 3,9 > 3,4 nên theo số trung bình thì bác Thu có nhiều cuộc điện thoại hơn.

c) Do 3,5 > 2 nên theo số trung vị thì bác Dũng có nhiều cuộc điện thoại hơn.

d) Vì trong mẫu số liệu có một ngày bác Thu có tới 20 cuộc điện thoại, lớn hơn nhiều so với các ngày khác, do đó ta nên so sánh theo số trung vị.

Toán lớp 10 tập 1 trang 119

Bài 6 trang 119 Toán lớp 10 tập 1

Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đặt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:

(Nguồn: https://imo-offial.org)

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không.

Hướng dẫn giải:

+) Giai đoạn 2001 – 2010

Số trung bình $\overline x = \frac{{139 + 166 + 172 + 196 + 143 + 131 + 168 + 159 + 161 + 133}}{{10}} = 156,8$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 131,133,139,143,159,161,166,168,172,196

Do n = 10, là số chẵn nên trung vị là: ${M_e} = \frac{1}{2}(159 + 161) = 160$

+) Giai đoạn 2011 – 2020

Số trung bình $\overline x = \frac{{150 + 177 + 148 + 155 + 151 + 151 + 157 + 180 + 148 + 113}}{{10}} = 153$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

$113,\;148,\;148,\;150,\;151,\;151,\;155,\;157,\;177,\;180$

Do n = 10, là số chẵn nên trung vị là: ${M_e} = \frac{1}{2}(151 + 151) = 151$

+) So sánh theo số trung bình hay số trung vị ta đều thấy điểm thi của đổi tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

Vậy ý kiến trên là đúng.

Bài 7 trang 119 Toán lớp 10 tập 1

Kết quả bài kiểm tra giữa kì cả các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

a) Hãy lập thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Hướng dẫn giải:

b)

+) Lớp 10A

Số trung bình $\overline x = \frac{{5.1 + 6.4 + 7.5 + 8.8 + 9.14 + 10.8}}{{1 + 4 + 5 + 8 + 14 + 8}} = 8,35$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,$\underbrace {8,…,8}_8,\underbrace {9,…,9}_{14},\underbrace {10,…,10}_8$

Do n = 40, là số chẵn nên trung vị là: ${M_e} = \frac{1}{2}(9 + 9) = 9$

Mốt ${M_e}$ = 9

+) Lớp 10B

Số trung bình $\overline x = \frac{{5.4 + 6.6 + 7.10 + 8.10 + 9.6 + 10.4}}{{4 + 6 + 10 + 10 + 6 + 4}} = 7,5$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 5,5,5,5,$\underbrace {6,..,6}_6,\underbrace {7,…,7}_{10},\underbrace {8,…,8}_{10},\underbrace {9,…,9}_6,10,10,10,10$

Do n = 40, là số chẵn nên trung vị là: ${M_e} = \frac{1}{2}(7 + 8) = 7,5$

Mốt ${M_e} = 7;{M_e} = 8$.

+) Lớp 10C

Số trung bình $\overline x = \frac{{5.1 + 6.3 + 7.17 + 8.11 + 9.6 + 10.2}}{{1 + 3 + 17 + 11 + 6 + 2}} = 7,6$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 5,6,6,6,$\underbrace {7,…,7}_{17},\underbrace {8,…,8}_{11},\underbrace {9,…,9}_6,10,10$

Do n = 40, là số chẵn nên trung vị là: ${M_e} = \frac{1}{2}(7 + 7) = 7$

Mốt ${M_e}$ = 7

+) So sánh:

Số trung bình: 8,35 > 7,6 > 7,5 => Điểm số của HS các lớp theo thứ tự giảm dần là 10A, 10C, 10B.

Số trung vị: 9 > 7,5 > 7=> Điểm số của HS các lớp theo thứ tự giảm dần là 10A, 10B, 10C.

Mốt: Lớp 10A có 14 điểm 9, Lớp 10B có 10 điểm 7 và 10 điểm 8, Lớp 10C có 17 điểm 7. Do đó so sánh theo mốt thì điểm số các lớp giảm dàn theo thứ tự là: 10A, 10B, 10C