Toán 8 tập 2 trang 97 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

Giải toán 8 tập 2 trang 97 bài 35 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 8 tập 2 trang 93

HĐ 1 trang 93 toán 8 tập 2

Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB=3cm,AC=4cm (H.9.31). Hãy đo độ dài cạnh BC và so sánh hai đại lượng $A{B^2} + A{C^2}$ với $B{C^2}$

Hướng dẫn giải::

– Đo độ dài có BC=5cm

– Có $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25$

với $B{C^2} = {5^2} = 25$

=>$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

HĐ 2 trang 93 toán 8 tập 2

Lấy giấy trắng cắt bốn tam giác vuông bằng nhau. Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, c là độ dài cạnh huyền của các tam giác vuông này. Cắt một hình vuông bằng tấm bìa có cạnh dài a+b. Dán bốn tam giác vuông lên tấm bìa như Hình 9.32

– Dùng ê ke kiểm tra phần bìa không bị che lấp có phải là hình vuông cạnh bằng c không. Từ đó tính diện tích phần bìa này theo c

– Tổng diện tích bốn tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông a, b là bao nhiêu?

– Diện tịch cả tấm bìa hình vuông cạnh a+ b bằng bao nhiêu?

– So sánh ${c^2} + 2{\rm{a}}b$ với ${\left( {a + b} \right)^2}$để rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai đại lượng ${c^2}$ và ${a^2} + {b^2}$.

Phương pháp giải:

– Tính diện tích tấm bìa của hình vuông.

– Tính diện tích phần bìa bị che lấp là hình vuông cạnh c.

Hướng dẫn giải::

Phần bìa bị che lấp là hình vuông cạnh c. Diện tích của hình vuông là: ${c^2}$

– Diện tích tấm bìa hình vuông là: ${\left( {a + b} \right)^2}$

=> Diện tích bốn tam giác vuông là: ${\left( {a + b} \right)^2} – {c^2}$

Toán 8 tập 2 trang 94

CH trang 94 toán 8 tập 2

Tìm độ dài x, y trong hình 9.35

Hướng dẫn giải::

Ta có: ${x^2} = {1^2} + {1^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 $

Ta có: ${\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {1^2} + {y^2} \Rightarrow {y^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} – {1^2} = 5 – 1 = 4 \Rightarrow y = 2$

Toán 8 tập 2 trang 95

LT 1 trang 95 toán 8 tập 2

Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như Hình 9.35. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải::

Từ A kẻ AM sao cho AM ⊥ MB

Tử C kẻ CM sao cho CN ⊥ NB

Từ C kẻ EC sao cho EC ⊥ EA

– Xét ΔAMB có AM ⊥ MB

=> ΔAMB là tam giác vuông

=> $A{B^2} = A{M^2} + M{B^2}$

=> $A{B^2} = {10^2} + {15^2}$

=> $AB = 5\sqrt {13} $ cm

– Xét ΔBNC có CN ⊥ NB

=> ΔBNC là tam giác vuông tại N

=> $B{C^2} = N{B^2} + N{C^2}$

=> $BC = {15^2} + {5^2}$

=> $BC = 5\sqrt {10} $cm

– Xét ΔAEC có EC ⊥ EA

=> ΔAEC là tam giác vuông tại E

=> $A{C^2} = E{{\rm{A}}^2} + E{C^2}$

=> $A{C^2} = {5^2} + {10^2}$

=> $AC = 5\sqrt 5 $cm

VD 1 trang 95 toán 8 tập 2

Em hãy giải bài toán mở đầu:

Bạn Lan vẽ một hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 1; 3 (đơn vị độ dài). Sau đó Lan đặt lên trục số đoạn OM có độ dài bằng độ dài của đường chéo hình chữ nhật vừa vẽ (trục số nằm ngang và M nằm bên phải gốc O). Hỏi điểm M biểu diễn số thực nào? Biết rằng đơn vị độ dài trên trục số và đơn vị độ dài đo kích thước hình chữ nhật là như nhau.

Hướng dẫn giải::

– Nếu điểm M biểu diễn cho số thực x thì đoạn thẳng OM có độ dài là x (đvđd).
– Đoạn thẳng OM là cạnh huyền của một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là hai cạnh của hình chữ nhật. Do đó, áp dụng định lý Pythagore cho tam giác này, ta được: $ x^2 =1^2+3^2 =10$. Suy ra x=$ \sqrt {10}$.

LT 2 trang 95 toán 8 tập 2

Cho tam giác vuông với kích thước như Hình 9.37. Hãy tính độ dài x và cho biết những tam giác nào đồng dạng, viết đúng kí hiệu đồng dạng

Hướng dẫn giải::

Áp dụng định lí Pythagore vào $\Delta ABC$ ta có:

$x = AB = \sqrt{13^2-12^2} = 5$

Những tam giác đồng dạng là

– Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là 1 $ \left( \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{DF} = 1 \right) $

– Tam giác MPN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ $ \left( \frac{MP}{AB} = \frac{MN}{AC} = \frac{2,5}{5} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \right) $

– Tam giác MPN đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ (do tam giác MPN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$ và tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là 1 nên tam giác MPN đồng dạng với tam giác EDF với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{2} . 1 = \frac{1}{2}$ )

Toán 8 tập 2 trang 96

VD 2 trang 96 toán 8 tập 2

Để đón được một người khách, một xe taxi xuất phát từ vị trí điểm A, chạy dọc một con phố dài 3km đến điểm B thì rẽ vuông góc sang trái, chạy được 3km đến điểm C thì tài xế cho xe rẽ vuông góc sang phải, chạy 1km nữa thì gặp người khách tại điểm D (H.9.38). Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khác là bao nhiêu kilômét.

Hướng dẫn giải::

Ta có: BC=AM=3km

AB=CM=3km

=> MD=CM+CD=3+1=4(km)

Xét tam giác AMD vuông tại M

=> $A{{\rm{D}}^2} = A{M^2} + M{{\rm{D}}^2}$

=> $A{{\rm{D}}^2} = {3^2} + {4^2}$

=> AD=5

Vậy lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là 5km

CH trang 96 toán 8 tập 2

Cho hình 9.42, trong đó các đoạn thẳng AC, AD, AE đoạn nào có độ dài lớn nhất, đoạn nào có độ dài nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải::

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHD vuông tại H có: $A{{\rm{D}}^2} = A{H^2} + H{{\rm{D}}^2}$ (1)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H có: $A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$ (2)

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHE vuông tại H có: $A{E^2} = A{H^2} + H{E^2}$ (3)

Vì HE > HC > HD suy ra $H{E^2} > H{C^2} > H{{\rm{D}}^2}$(4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $A{{\rm{E}}^2} > A{C^2} > A{{\rm{D}}^2} \Rightarrow A{\rm{E}} > AC > A{\rm{D}}$

Vậy đoạn AE là lớn nhất, đoạn AD là nhỏ nhất.

LT 3 trang 96 toán 8 tập 2

Trước đây chúng ta thừa nhận định lí về trường hợp bằng nhau đặc biệt của hai tam giác vuông: “Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau”.

Hướng dẫn giải::

– Xét tam giác ABC vuông tại A, có

$$$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$(1)

– Xét tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có:

$B’C{‘^2} = A’B{‘^2} + A’C{‘^2}$ (2)

mà AB=A’B’, BC=B’C’ (3)

=> Từ (1), (2), (3): AC= A’C’

=> Hai tam giác bằng nhau

Toán 8 tập 2 trang 97

TTN trang 97 toán 8 tập 2

Tính chiều cao theo đơn vị centimét của một tam giác đều cạnh 2cm (h.9.44) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn giải::

Vì tam giác ABC là tam giác đều, $AH \bot BC$ nên H là trung điểm của BC suy ra

$HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{2}{2} = 1$(cm)

Áp đụng định lí Pythagore trong tam giác AHC ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} – H{C^2} = {2^2} – {1^2} = 3\\ \Rightarrow AH = \sqrt 3  \approx 1,73(cm)\end{array}$

Vậy chiều cao của tam giác đều là 1, 73 cm

Bài 9.17 trang 97 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai

a) $AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

b) $BC^{2}-AC^{2}=AB^{2}$

c) $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$

d) $BC^{2}-AB^{2}=AC^{2}$

Đáp án:

Khẳng định b, d đúng

Khẳng định a, c sai

Bài 9.18 trang 97 Toán 8 Tập 2:

Những bộ ba số đo nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

a) $1 cm, 1cm, 2cm$

b) $2 cm, 4 cm, 20 cm$

c) $5 cm, 4 cm, 3 cm$

d) $2 cm, 2 cm, 2\sqrt{2} cm$

Đáp án: c và d

Bài 9.19 trang 97 Toán 8 Tập 2:

Tính độ dài x, y, z, t trong Hình 9.43

Hướng dẫn giải

– $x^{2}=4^{2}+2^{2}=20$ => $x=2\sqrt{5}$

– $y^{2}=5^{2}-4^{2}=9$ => $y=3$

– $z^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(2\sqrt{5})^{2}=25$ => $z=5$

– $t^{2}=1^{2}+2^{2}=5$ => $t=\sqrt{5}$

Bài 9.20 trang 97 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, chiều cao $AH=3cm$ và cạnh đáy $BC=10cm$. Hãy tính độ dài các cạnh bên AB, AC

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC cân tại A => $AB=AC$, $HB=HC=5cm$

Xét tam giác AHB vuông tại H có

$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}=3^{2}+5^{2}=34$

=> $AB=\sqrt{34}cm$

Bài 9.21 trang 97 Toán 8 Tập 2:

Hãy tính diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 8cm và đường chéo dài 17cm

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ:

Xét tam giác ABC vuông tại B, có

$BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}=17^{2}-8^{2}=225$

=> $BC=15(cm)$

=> Diện tích của hình chữ nhật là: $AB.BC=8.15=120(cm^{2})$

Bài 9.22 trang 97 Toán 8 Tập 2:

Chú cún bị xích bởi một sợi dây dài 6m để canh một mảnh vườn giới hạn bởi các điểm A, B, E, F, D trong hình vuông ABCD có cạnh 5m như Hình 9.44. Đầu xích buộc cố định tại điểm A của mảnh vườn. Hỏi chú cún có thể chạy đến tất cả các điểm của mảnh vườn mình phải canh không

Hướng dẫn giải

– Xét tam giác ABE vuông tại B, có

$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=5^{2}+3^{2}=34$

=> $AE=\sqrt{34}(m)$

=> Chú chó có thể chạy đến điểm E do khoảng cách AE ngắn hơn sợi dây

– Xét tam giác ADF vuông tại D, có

$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=5^{2}+4^{2}=41$

=> $AE=\sqrt{41}(m)$

=> Chú chó không thể chạy đến điểm F do khoảng cách AF dài hơn sợi dây

– Xét tam giác ADC vuông tại D, có

$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=5^{2}+5^{2}=50$

=> $AE=5\sqrt{2}(m)$

=> Chú chó không thể chạy đến điểm C do khoảng cách AC dài hơn sợi dây

Vậy chú chó không thể chạy hết tất cả các điểm của mảnh vườn. Chú chó chỉ có thể chạy đến điểm B, D, E.