Toán 8 tập 2 trang 90 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Giải toán 8 tập 2 trang 90 bài 34 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 8 tập 2 trang 83d

HĐ1 trang 83 toán 8 tập 2

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}$

a) Nếu A′B=AB thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Nếu A′B < AB như hình 9.11. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho AM = A’B’. Kẻ đường thẳng qua M song song với BC và cắt AC tại N.

– Hãy giải thích vì sao ΔAMN ∽ ΔABC

– Hãy chứng tỏ rằng AN=A’C’′, MN=B′C′ để suy ra ΔAMN = ΔA’B’C’ (c.c.c)

– Hai tam giác A’B’C’ và ABC có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng.

c) Nếu A’B’ > AB thì tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC không? Vì sao?

Hướng dẫn giải::

a)  Nếu A′B′=AB thì tam giác có đồng dạng.

Vì A′B′=AB $ \Rightarrow $A’C’=AC => B’C’=BC => $\widehat A = \widehat {A’};\widehat B = \widehat {B’};\widehat C = \widehat {C’}$

=> Hai tam giác đồng dạng

b) MN // BC ( M∈AB, N∈AC) => ΔAMN ∽ ΔABC

=> $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$

Mà $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}$

=> $\frac{{A’B’}}{{AM}} = \frac{{A’C’}}{{AN}} = \frac{{B’C’}}{{MN}}$

– Có AM= A’B’ => A’C’=AN $ \Rightarrow $ B’C’=MN

=>  ΔAMN = ΔA’B’C’

=>  ΔAMN ∽ ΔA’B’C’

Mà ΔAMN ∽ ΔABC

=> ΔABC ∽ ΔA′B′C′

c) Nếu A’B’ > AB thì tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC. Vì $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}$

Toán 8 tập 2 trang 84

CH trang 84 toán 8 tập 2

Những cặp tam giác nào dưới đây (hình 9.13) là đồng dạng? (các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hướng dẫn giải::

Các cặp tam giác đồng dạng là: $\Delta ABC \backsim \Delta HKG{;^{}}\Delta EFD \backsim \Delta NPM$

Toán 8 tập 2 trang 85

LT1 trang 85 toán 8 tập 2

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27cm. Biết rằng AB=4cm, BC=6cm, DE=6cm, FD=12cm. Chứng minh  ΔABC ∽ ΔDEF

Phương pháp giải:

Chứng minh : $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}$ từ đó suy ra: ΔABC ∽ ΔDEF

Hướng dẫn giải::

Vì chu vi tam giác ABC bằng 18cm

=> AB+AC+BC=18 => 4+AC+6=18 => AC=8 (cm)

Vì chu vi tam giác DEF bằng 27cm

=> DE+EF+DF=27 => 6+EF+12=27 => EF=9 (cm)

Ta thấy $\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}}\\ = \frac{4}{6} = \frac{8}{{12}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\end{array}$

=> ΔABC ∽ ΔDEF

VD trang 85 toán 8 tập 2

Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

Vẽ tam giác dựa vào tỉ lệ của độ rộng khung thành và khoảng cách của trái bóng với hai cột gôn.

Hướng dẫn giải::

Ta có tỉ lệ của độ rộng khung thành và khoảng cách hai cột gôn là: 7,32 : 10,98 : 14,64 = 2 : 3 : 4 nên độ dài cạnh của tam giác vẽ theo tỉ lệ 2 : 3 : 4.

Sử dụng thước đo góc, ta được $ \widehat C \approx 29^0 $ hay góc sút bằng khoảng $29^0$.

HĐ2 trang 85 toán 8 tập 2

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng $\widehat A = \widehat {A’} = 60^0$

– So sánh các tỉ số $\frac{{A’B’}}{{AB}}{;^{}}\frac{{A’C’}}{{AC}}$

– Dùng thước có vạch chia đo độ dài BC, B’C’ và tính tỉ số $ \frac {B′C′} {BC} $

– Theo em, tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải::

– Có $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{3}{2}$

– Có $\frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{3}{2}$

– Tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC và đồng dạng với tỉ số $\frac{3}{2}$

Toán 8 tập 2 trang 86

CH trang 86 toán 8 tập 2

Những cặp tam giác nào trong hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng.

Hướng dẫn giải::

Các cặp tam giác đồng dạng: $\Delta ACB \backsim \Delta MPN$

Toán 8 tập 2 trang 87

LT2 trang 87 toán 8 tập 2

Cho ΔA’B’C’ ∽ ΔABC. Trên tia đối của các tia CB, C’B’ lần lượt lấy các điểm M, M’ sao cho $\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{M’C’}}{{M’B’}}$. Chứng minh rằng  ΔA’B’M’ ∽ ΔABM

Hướng dẫn giải::

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{MC}}{{MB}} = \frac{{M’C’}}{{M’B’}}\\ \Rightarrow \frac{{MB – BC}}{{MB}} = \frac{{M’B’ – B’C’}}{{M’B’}}\\ \Rightarrow 1 – \frac{{BC}}{{MB}} = 1 – \frac{{B’C’}}{{M’B’}}\\ \Rightarrow \frac{{BC}}{{MB}} = \frac{{B’C’}}{{M’B’}}\\ \Rightarrow \frac{{M’B’}}{{MB}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}(1)\end{array}$

Vì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC suy ra:

$\begin{array}{l}\widehat {B’} = \widehat B\\\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{B’C’}}{{BC}}(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\frac{{M’B’}}{{MB}} = \frac{{A’B’}}{{AB}}$

Xét tam giác ABM và tam giác A”B”M’ có:

$\begin{array}{l}\widehat {B’} = \widehat B\\\frac{{M’B’}}{{MB}} = \frac{{A’B’}}{{AB}}\end{array}$

Suy ra $\Delta A’B’M’ \backsim \Delta ABM$

TL trang 87 toán 8 tập 2

Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có $\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}}$ và $\widehat {B’} = \widehat B$ thì chúng đồng dạng. Theo em bạn Lan nhận xét đúng không vì sao?

Gợi ý. Khi góc ACB tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho $ \Delta AMC $ cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác ABC và ABM, tam giác nào đồng dạng với tam giác A’B’C’.

Hướng dẫn giải::

Khi góc ACB là góc tù, lấy điểm M trên tia BC sao cho tam giác AMC cân tại A nên AM = AC

Khi đó $\Delta A’B’C’ \backsim \Delta ABM$

Như vậy nhận xét của Lan không chính xác.

Toán 8 tập 2 trang 88

HĐ3 trang 88 toán 8 tập 2

Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm A bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm C bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí B sao cho AB=10m, $\widehat {ABC} = {70^o}{,^{}}\widehat {BAC} = {80^o}$ và vẽ một tam giác A’B’C’ trên giấy với A′B′=2cm, $\widehat {A’B’C’} = {70^o};\widehat {B’A’C’} = {80^o}$(H.9.20b)

Em hãy dự đoán xem tam giác A’B’C’ có đồng dạng với tam giác ABC không? nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu

Hướng dẫn giải::

Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{5}$

HĐ4 trang 88 toán 8 tập 2

Nếu ΔABC ∽ ΔA′B′C′ và anh Pi đo được A′C′=3,76cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải::

Có ΔA’B’C’ ∽ ΔABC với tỉ số đồng dạng là $\frac{1}{5}$

$\frac{{A’B’}}{{AB}} = \frac{{A’C’}}{{AC}} = \frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{1}{5}$

mà A′C′=3,76 (m) => AC=18,8 (m)

Khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là 18,8 m.

Toán 8 tập 2 trang 89

CH trang 89 toán 8 tập 2

Những cặp tam giác nào trong hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng

Hướng dẫn giải::

Xét tam giác MPN có: $\widehat P = {180^o} – \widehat M – \widehat N = {180^o} – {60^o} – {70^o} = {50^o}$

Các cặp tam giác đồng dạng trong hình 9.22 là: $\Delta ACB \backsim \Delta DF{\rm{E; }}\Delta {\rm{ACB}} \backsim \Delta {\rm{MP}}N;\Delta DF{\rm{E}} \backsim \Delta MPN$

LT3 trang 89 toán 8 tập 2

Cho các điểm A, B, C, D như Hình 9.24. Biết rằng $\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{D}}B}$. Hãy chứng minh ΔABC ∽ ΔADB  và $A{B^2} = A{\rm{D}}.AC$

Hướng dẫn giải::

Xét tam giác ABC và tam giác ADB có

$\widehat {ABC} = \widehat {A{\rm{D}}B}$ và $\widehat A$ chung

=> ΔABC ∽ ΔADB (g.g)

=> $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}}$

=> $A{B^2} = A{\rm{D}}.AC$

Toán 8 tập 2 trang 90

TTN trang 90 toán 8 tập 2

1. Biết rằng ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy tại I, ba đường phân giác của tam giác A’B’C’ đồng quy tại I’. Hãy chứng tỏ rằng nếu $ \widehat {A’I’B’} = \widehat {AIB} $ và $ \widehat {A’I’C’} = \widehat {AIC} $ thì $ \Delta A’B’C’ \backsim \Delta ABC $.

2. Với  hai tam giác ABC và A’B’C’ trong phần Tranh luận, nếu thêm giả thiết các góc C và C’ nhọn thì hai tam giác đó có đồng dạng không?

Hướng dẫn giải::

1. Do tổng các góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ nên:

$\frac{\widehat{A^{\prime}}+\widehat{B^{\prime}}}{2}=180^{\circ}-\widehat{A^{\prime} I^{\prime} B^{\prime}}=180^{\circ}-\widehat{A I B}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2} \text {. }$

Suy ra $\widehat{A^{\prime}}+\widehat{B^{\prime}}=\widehat{A}+\widehat{B}$. Do đó $\widehat{C^{\prime}}=180^{\circ}-\widehat{A^{\prime}}-\widehat{B^{\prime}}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{B}=\widehat{C} \text {. } $

Tương tự, $\widehat{B^{\prime}}=\widehat{B}$. Vậy $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và $\triangle A B C$ có: $\widehat{B^{\prime}}=\widehat{B}, \widehat{C^{\prime}}=\widehat{C}$. Do đó $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \backsim \triangle A B C$ (g.g).

2. Nếu góc C và C’ đều nhọn: Lấy điểm $M$ trên tia $B C$ sao cho $\triangle A B M \perp \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Giả sử điểm $C$ không trùng với $M$. Khi đó: $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và $\triangle A B M$ nên $\frac{A^{\prime} C^{\prime}}{A M}=\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}=\frac{A^{\prime} C^{\prime}}{A C}$ và kéo theo $A M=A C$, hay $\triangle A M C$ cân tại $A$.

+) Nếu $M$ nằm giữa $B$ và $C$ thì $\widehat{A M B}=180^{\circ}-\widehat{A M C}$

$=180^{\circ}-\widehat{A C M}>90^{\circ}>\widehat{A^{\prime} C^{\prime} M^{\prime}}$ và ta nhận được điều vô lí.

+) Vậy $C$ ở giữa $B$ và $M$ (như hình 9.19). Khi đó $\widehat{A C B}=180^{\circ}-\widehat{A C M}$

$=180^{\circ}-\widehat{A M B}=180^{\circ}-\widehat{C}>90^{\circ}$ và ta nhận được điều vô lí.

Vậy điểm $C$ phải trùng với $M$ và $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \backsim \triangle A B C$.

Bài 9.5 trang 90 Toán 8 KNTT tập 2

Khẳng đinh nào sau đây chứng tỏ Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác?

a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia

b) Hai cạnh của tam giá này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau

c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia

d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia

Lời giải:

Khẳng định a chứng tỏ Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài 9.6 trang 90 Toán 8 KNTT tập 2

Cho Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4cm, 8cm và 10cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6cm, 12cm, 15cm
b) 8cm, 16cm, 20cm
c) 6cm, 9cm, 18cm
d) 8cm, 10cm, 15cm

Lời giải:

Có chu vi tam giác là: a + b + c = 33cm => loại phương án b

Xét phương án a, nhận thấy $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

=> phương án a là phương án đúng.

Bài 9.7 trang 90 Toán 8 KNTT tập 2

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A’M’, B’N’, C’P’ là các đường trung tuyến của tam giác A’B’C’. Biết rằng $\Delta A’B’C’$ ~ $\Delta ABC$

Chứng minh rằng $\frac{A’M’}{AM}=\frac{B’N’}{BN}=\frac{C’P’}{CP}$

Lời giải:

Vì $\Delta A’B’C’$ ~ $\Delta ABC$

=> $\Delta A’M’B’$ ~ $\Delta AMB$

=> $\frac{A’M’}{AM}=\frac{A’B’}{AB}$ (1)

Vì $\Delta A’B’C’$ ~ $\Delta ABC$

=> Vì $\Delta A’B’N’$ ~ $\Delta ABN$

=> $\frac{B’N’}{BN}=\frac{A’B’}{AB}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{A’M’}{AM}=\frac{B’N’}{BN}$ (3)

Vì $\Delta A’B’C’$ ~ $\Delta ABC$

=> Vì $\Delta A’C’P’$ ~ $\Delta ACP$

=> $\frac{C’P’}{CP}=\frac{A’C’}{AC}$ (4)

Vì $\Delta A’B’C’$ ~ $\Delta ABC$

=> $\Delta A’M’C’$ ~ $\Delta AMC$

=> $\frac{A’M’}{AM}=\frac{A’C’}{AC}$ (5)

Từ (4) và (5) => $\frac{C’P’}{CP}=\frac{A’M’}{AM}$ (6)

Từ (3) và (6) => $\frac{A’M’}{AM}=\frac{B’N’}{BN}=\frac{C’P’}{CP}$

Bài 9.8 trang 90 Toán 8 KNTT tập 2

Cho tam giác ABC có $AB=12cm$, $AC=5cm$. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $AM=10cm$, $AN=8cm$. Chứng minh rằng $\Delta ABC$ ~ $\Delta ANM$

Lời giải:

Có $AB=12cm$ , $AN=8cm$ => $\frac{AN}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

$AC=5cm$, $AM=10cm$ => $\frac{AM}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

=> $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$

– Xét hai tam giác ABC và tam giác ANM, có

$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$, góc A chung

=> ΔABC ~ ΔANM’ (c.g.c)

Bài 9.9 trang 90 Toán 8 KNTT tập 2

Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$

a) Chứng minh rằng ΔABN ~ ΔACM

b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng $IB.IN=IC.IM$

Lời giải:

a) Xét tam giác ABN và tam giác ACM

có góc A chung, $\widehat{ABN}=\widehat{ACM}$

=> ΔABN ~ ΔACM

b) Có ΔABN ~ ΔACM

$\widehat{ANB}=\widehat{AMC}$

Có $\widehat{ANB}+\widehat{CNB}=180°$

$\widehat{AMC}+\widehat{BMC}=180°$

=> $\widehat{CNB}=\widehat{BMC}$

Xét tam giác IBM và tam giác ICN

Có $\widehat{CNB}=\widehat{BMC}$ và $\widehat{IBM}=\widehat{ICN}$

=> ΔIBM ~ ΔICN (g.g)

=> $\frac{IB}{IC}=\frac{IM}{IN}$

=> $IB.IN=IC.IM$

Bài 9.10 trang 90 Toán 8 KNTT tập 2

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3m và 2m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25), hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất

Lời giải:

Theo đề bài, ta có hình vẽ:

– Có AB // CD

=> $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (2 góc so le trong)

$\widehat{BDC}=\widehat{ABD}$ (2 góc so le trong)

– Xét hai tam giác ABE và tam giác CDE, có $\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$, $\widehat{BDC}=\widehat{ABD}$

=> ΔABE ~ ΔCDE

=> $\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{AE}=\frac{2}{3}$

=> $\frac{CE}{AE}=\frac{2}{3}$ => $\frac{CE}{CA}=\frac{2}{5}$

– Xét hai tam giác CEF và tam giác CAB có EF // AB

=> ΔCEF ~ ΔCAB (theo định lý)

=> $\frac{FE}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{5}$

=> $\frac{FE}{AB}=\frac{2}{5}$ => $\frac{FE}{3}=\frac{2}{5}$ => $EF=frac{6}{5}=1,2$ (m)

Vậy độ cao h là 1,2 m