Toán 8 tập 2 trang 12 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số
Toán 8 tập 2 trang 12 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số
Giải toán 8 tập 2 trang 12 bài 22 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 8 tập 2 trang 8
Mở đầu trang 8 toán 8 tập 2
Đề bài
Liệu phân thức nào đơn giản nhưng bằng phân thức $\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}}$ không nhỉ?
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}} = \frac{{x – y}}{{\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$
HĐ 1 trang 8 toán 8 tập 2
Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{x + y}}{{x – y}}$ với 2x ta được phân thức mới nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.
Hướng dẫn giải::
Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{x + y}}{{x – y}}$ với 2x, ta có: $\frac{{2{\rm{x}}\left( {x + y} \right)}}{{2{\rm{x}}\left( {x – y} \right)}}$
Phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho vì cả tử và mẫu của phân thức đều nhân cùng với một số.
HĐ 2 trang 8 toán 8 tập 2
Tử và mẫu của phân thức $\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$có nhân tử chung là x−1. Viết phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được với phân thức đã cho.
Hướng dẫn giải::
Chia cả tử và mẫu của phân thức này cho nhân tử chung x−1, ta có $\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
=> Phân thức mới được rút gọn và mất đi nhân tử chung x−1
LT 1 trang 8 toán 8 tập 2
Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?
$\frac{{30{\rm{x}}{y^2}\left( {x – y} \right)}}{{45{\rm{x}}y{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = \frac{{2y}}{{3\left( {x – y} \right)}}$
Hướng dẫn giải::
Khẳng định trên là đúng. Vì nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{2y}}{{3\left( {x – y} \right)}}$ với 15 ta được phân thức
$\frac{{30{\rm{x}}{y^2}\left( {x – y} \right)}}{{45{\rm{x}}y{{\left( {x – y} \right)}^2}}} \Rightarrow \frac{{30{\rm{x}}{y^2}\left( {x – y} \right)}}{{45{\rm{x}}y{{\left( {x – y} \right)}^2}}} = \frac{{2y}}{{3\left( {x – y} \right)}}$
Toán 8 tập 2 trang 9
LT 2 trang 9 toán 8 tập 2
Giải thích vì sao $\frac{{ – x}}{{1 – x}} = \frac{x}{{x – 1}}$
Hướng dẫn giải::
Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x}{{x – 1}}$ với -1 ta được phân thức $\frac{{ – x}}{{1 – x}} \Rightarrow \frac{{ – x}}{{1 – x}} = \frac{x}{{x – 1}}$
HĐ 3 trang 9 toán 8 tập 2
Phân tích tử và mẫu của phân thức $\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} – 1}}$ thành nhân tử và tìm các nhân tử chung của chúng
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}$
Nhân tử chung là x + 1
HĐ 4 trang 9 toán 8 tập 2
Chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} – 1}}$ cho các nhân tử chung, ta nhận được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{x + 1}}$
LT 3 trang 10 toán 8 tập 2
Liệu phân thức nào đơn giản nhưng bằng phân thức $\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}}$ không nhỉ?
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{{x – y}}{{{x^3} – {y^3}}} = \frac{{x – y}}{{\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{1}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$
Toán 8 tập 2 trang 10
TL Trang 10 toán 8 tập 2
Thực hiện rút gọn một phân thức như hình bên . Hỏi bạn tròn làm đúng hay sai/ Vì sao?
Hướng dẫn giải::
Bạn tròn làm thế là sai. Vì bạn bỏ hai số hạng giống nhau của cả tử và mẫu là 2x chứ không phải chia cho nhân tử chung của cả tử và mẫu.
TTN trang 10 toán 8 tập 2
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau: $\frac{{{\rm{ – a}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ – ax}}}}{{{x^2} – 1}}$ và $\frac{{3{\rm{x}}}}{{x – 1}}$
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc rút gọn phân thức
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{{{\rm{ – a}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ – ax}}}}{{{x^2} – 1}} = \frac{{ – a\left( {{x^2} + x} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ – ax\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{{\rm{ – ax}}}}{{x – 1}}$
Để hai phân thức sau bằng nhau: $\frac{{{\rm{ – a}}{{\rm{x}}^2}{\rm{ – ax}}}}{{{x^2} – 1}}$ và $\frac{{3{\rm{x}}}}{{x – 1}}$ khi và chỉ khi a = -3
HĐ 5 trang 10 toán 8 tập 2
Cho hai phân thức: $\frac{1}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}}$và $\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} – 6{\rm{x}}}}$. Phân tích các mẫu thức của hai phân thức đã cho thành nhân tử
Phương pháp giải:
Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức theo phân tích đa thức thành nhân tử
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{1}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} = \frac{1}{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}$
$\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} – 6{\rm{x}}}} = \frac{1}{{3{\rm{x}}\left( {x – 2} \right)}}$
HĐ 6 trang 10 toán 8 tập 2
Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bàng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:
– Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);
– Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Phương pháp giải:
Thực hiện theo yêu cầu của đề bài
Hướng dẫn giải::
Mẫu thức chung: 6x(x+1)(x−2)
HĐ 7 trang 10 toán 8 tập 2
Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức đó
Phương pháp giải:
Lấy MTC chia cho mẫu của mỗi phân thức
Hướng dẫn giải::
Nhân tử phụ của 2x2 +2x là 3(x−2)
Nhân tử phụ của 3x2 −6x là 2(x+1)
HĐ 8 trang 10 toán 8 tập 2
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng, ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn
Phương pháp giải:
Thực hiện theo yêu cầu của đề bài
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{1}{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}}} = \frac{1}{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{\rm{x}}\left( {x – 2} \right)}}{{6{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}$
$\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} – 6{\rm{x}}}} = \frac{1}{{3{\rm{x}}\left( {x – 2} \right)}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)}}{{6{\rm{x}}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}$
Toán 8 tập 2 trang 11
LT 4 trang 11 toán 8 tập 2
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} – 3}}$ và $\frac{1}{{{x^3} – 1}}$
Phương pháp giải:
– Phân tích mẫu của hai phân thức đã cho
– Tìm MTC
– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
– Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ
Hướng dẫn giải::
Ta có:3x2 −3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)
x3 −1=(x−1)(x2 + x + 1)
MTC= 3(x−1)(x+1)(x2 + x + 1)
Nhân tử phụ của 3x2 − 3 là x2 + x + 1
Nhân tử phụ của x3 − 1 là 3(x+1)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
$\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2} – 3}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$
$\frac{1}{{{x^3} – 1}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$
TL trang 11 toán 8 tập 2
Tròn: hai phân thức $\frac{5}{{x – 1}}$ và $\frac{x}{{1 – x}}$ có MTC là x – 1
Vuông: Không đúng, MTC là (x – 1)(1 – x)
Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?
Phương pháp giải:
Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{5}{{x – 1}}$ với -1
Hướng dẫn giải::
Ta có: $\frac{x}{{1 – x}} = \frac{{ – x}}{{x – 1}}$
Hai phân thức $\frac{5}{{x – 1}}$ và $\frac{x}{{1 – x}}$ có MTC là x – 1
Bạn Tròn chọn MTC hợp lí hơn.
Bài 6.7 trang 11 Toán 8 KNTT tập 2
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao các kết luận sau đúng.
a) $\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2}=\frac{(x-2)^{2}}{x}$
b) $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}$
Hướng dẫn giải
a) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{(x-2)^{2}}{x}$ với $x-2$ ta có:
$\frac{(x-2)^{2}}{x}$= $\frac{(x-2)(x-2)^{2}}{x(x-2)}$= $\frac{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x(x-2)}$=$\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}-2}$
b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{1-x}{-5x+1}$ với -1, ta có $\frac{1-x}{-5x+1}=\frac{x-1}{5x-1}$
Toán 8 tập 2 trang 12
Bài 6.8 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu “?”
$\frac{y-x}{4-x}=\frac{?}{x-4}$
Hướng dẫn giải
Có $\frac{y-x}{4-x}=\frac{x-y}{x-4}$
Bài 6.9 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Rút gọn các phân thức sau
a) $\frac{5x+10}{25x^{2}+50}$
b) $\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}$
c) $\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}$
Hướng dẫn giải
a) $\frac{5x+10}{25x^{2}+50}=\frac{5(x+2)}{25(x^{2}+2)}=\frac{x+2}{5(x^{2}+2)}$
b) $\frac{45x(3-x)}{15x(x-3)^{3}}=\frac{3(3-x)}{(x-3)^{3}}$
c) $\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x+1)(x^{3}+1)}=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}-1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}-x+1}$
Bài 6.10 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Cho phân thức $P=\frac{x+1}{x^{2}-1}$
a) Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu Q là phân thức nhận được.
b) Tính giá trị của P và Q tại x=11. So sánh hai kết quả đó.
Hướng dẫn giải
a) $P=\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{x-1}$
=> $Q=\frac{x+1}{x-1}$
b) Thay x=11 vào P ta có $P=\frac{1}{10}$
Thay x=11 vào Q ta có $Q=\frac{1}{10}$
=> Hai kết quả bằng nhau
Bài 6.11 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
$\frac{5x}{x+1}$ và $\frac{ax(x-1)}{(1-x)(x+1)}$
Hướng dẫn giải
Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{5x}{x+1}$ với $1-x$, ta có: $\frac{5x(1-x)}{(1-x)(x+1)}=\frac{-5x(x-1)}{(1-x)(x+1)}$
Vậy $a=-5$
Bài 6.12 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) $\frac{1}{x^{3}-8}$ và $\frac{3}{4-2x}$
b) $\frac{x}{x^{2}-1}$ và $\frac{1}{x^{2}+2x+1}$
Hướng dẫn giải
Ta có: $x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)$
$4-2x=2(2-x)=-2(x-2)$
MTC$=-2(x-2)(x^{2}+2x+4)$
Nhân tử phụ của $x^{3}-8$ là -2
Nhân tử phụ của $4-2x$ là $x^{2}+2x+4$
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
$\frac{1}{x^{3}-8}=\frac{-2}{-2(x^{3}-8)}$ và $\frac{3}{4-2x}$=$\frac{3(x^{2}+2x+4)}{(4-2x)(x^{2}+2x+4)}$= $\frac{3(x^{2}+2x+4)}{-2(x^{3}-8)}$
Bài 6.13 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) $\frac{1}{x+2}$;$\frac{x+1}{x^{2}-4x-4}$ và $\frac{5}{2-x}$
b) $\frac{1}{3x+3y}$; $\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}$ và $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}-2xy+y^{2}}$
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: $\frac{5}{{2 – x}} = \frac{{ – 5}}{{x – 2}}$
${x^2} – 4{\rm{x}} + 4 = {\left( {x – 2} \right)^2}$
$MTC = \left( {x + 2} \right){\left( {x – 2} \right)^2}$
Nhân tử phụ của x+2 là ${\left( {x – 2} \right)^2}$
Nhân tử phụ của ${x^2} – 4{\rm{x}} + 4$ là $x + 2$
Nhân tử phụ của x – 2 là (x+2)(x−2)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
$\begin{array}{l}\frac{1}{{x + 2}} = \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} – 4{\rm{x + 4}}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\\\frac{5}{{2 – x}} = \frac{{ – 5\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right){{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\end{array}$
b) Ta có: 3x+3y=3(x+y)
${x^2} – {y^2} = \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)$
${x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2} = {\left( {x – y} \right)^2}$
$MTC = 3\left( {x + y} \right){\left( {x – y} \right)^2}$
Nhân tử phụ của 3x+3y là: ${\left( {x – y} \right)^2}$
Nhân tử phụ của ${x^2} – {y^2}$ là: 3(x−y)
Nhân tử phụ của ${x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}$ là: 3(x+y)
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng, ta có:
$\begin{array}{l}\frac{1}{{3{\rm{x}} + 3y}} = \frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{3\left( {x + y} \right){{\left( {x – y} \right)}^2}}}\\\frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} – {y^2}}} = \frac{{6{\rm{x}}\left( {x – y} \right)}}{{3\left( {x + y} \right){{\left( {x – y} \right)}^2}}}\\\frac{{{x^2} – xy + {y^2}}}{{{x^2} – 2{\rm{x}}y + {y^2}}} = \frac{{3\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}}{{3\left( {x + y} \right){{\left( {x – y} \right)}^2}}}\end{array}$
Bài 6.14 trang 12 Toán 8 KNTT tập 2
Cho hai phân thức: $\frac{9x^{2}+3x+1}{27x^{3}-1}$ và $\frac{x^{2}-4x}{16-x^{2}}$
a) Rút gọn hai phân thức đã cho
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
$\frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1}}{{27{{\rm{x}}^3} – 1}} = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1}}{{\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)\left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{1}{{3{\rm{x}} – 1}}$
$\frac{{{x^2} – 4{\rm{x}}}}{{16 – {x^2}}} = \frac{{x\left( {x – 4} \right)}}{{\left( {4 – x} \right)\left( {4 + x} \right)}} = \frac{{ – x\left( {4 – x} \right)}}{{\left( {4 – x} \right)\left( {4 + x} \right)}} = \frac{{ – x}}{{4 + x}}$
b) Mẫu thức chung của hai phân thức nhân được ở câu a là: $\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)\left( {4 + x} \right)$
Nhân tử phụ của $\frac{1}{{3{\rm{x}} – 1}}$ là: $4 + x$
Nhân tử phụ của $\frac{{ – x}}{{4 + x}}$ là : $3{\rm{x}} – 1$
Khi đó:
$\frac{1}{{3{\rm{x}} – 1}} = \frac{{4 + x}}{{\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)\left( {4 + x} \right)}}$
$\frac{{ – x}}{{4 + x}} = \frac{{ – x\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)}}{{\left( {4 + x} \right)\left( {3{\rm{x}} – 1} \right)}}$