Giải toán 8 tập 2 trang 55 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải toán 8 tập 2 trang 55 bài 3 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 CTST. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải toán 8 tập 2 trang 55

Khởi động trang 55 toán 8 tập 2

Đường phân giác $AD$ của tam giác $ABC$ chia cạnh đối diện $BC$ thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai đoạn thẳng nào trong hình?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Do đó, đường phân giác $AD$ của tam giác đã chia cạnh $BC$ thành hai đoạn là $BD$ và $DC$ tỉ lệ với hai cạnh $AB$ và $AC$.

Khám phá trang 55 toán 8 tập 2

Cho tam giác $ABC$ có đường phân giác $AD$. Vẽ đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ và cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

a) Tam giác $BAE$ cân tại $A$.

b) $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $BE//AD$ nên $\widehat {EBA} = \widehat {BAD}$ (cặp góc so le trong)  (1)

Vì $BE//AD$ nên $\widehat {BEA} = \widehat {DAC}$ (cặp góc đồng vị)   (2)

Vì $AD$ là tia phân giác nên $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ (tính chất)  (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat {EBA} = \widehat {AEB}$

Xét tam giác $BAE$ có:

$\widehat {EBA} = \widehat {AEB}$ (chứng minh trên)

Nên tam giác $BAE$ cân tại $A$.

b) Vì $BE//AD$ nên $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}}$.

Mà tam giác $BAE$ cân tại $A$ nên $AE = AB \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (định lí Thales)

Do đó, $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (điều phải chứng minh).

Giải toán 8 tập 2 trang 56

Thực hành trang 56 toán 8 tập 2

Tính độ dài cạnh $MQ$ của tam giác $MPQ$ trong Hình 6.

Hướng dẫn giải

Vì $MN$ là phân giác của góc $PMQ$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{PN}}{{QN}} = \frac{{MP}}{{MQ}} \Leftrightarrow \frac{4}{5} = \frac{7}{{MQ}} \Rightarrow MQ = \frac{{5.7}}{4} = \frac{{35}}{4}$.

Vậy $MQ = \frac{{35}}{4}$

Bài 1 trang 56 Toán 8 Tập 2:

Tính độ dài x trong Hình 7.

Hướng dẫn giải

a) Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Leftrightarrow \frac{x}{{2,4}} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{{2,4.5}}{3} = 4.$

Vậy x = 4.

b) Ta có: $GH + HF = GF \Rightarrow HF = GF – GH = 20 – x$

Vì EH là phân giác của góc GEF nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{GH}}{{HF}} = \frac{{GE}}{{EF}} \Leftrightarrow \frac{x}{{20 – x}} = \frac{{18}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{x}{{20 – x}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x = 3.\left( {20 – x} \right)$

$\Leftrightarrow 2x = 60 – 3x \Leftrightarrow 5x = 60 \Rightarrow x = 12$

Vậy x = 12.

c) Vì RS là phân giác của góc RPQ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{PS}}{{SQ}} = \frac{{PR}}{{RQ}} \Leftrightarrow \frac{5}{6} = \frac{{10}}{x} \Rightarrow x = \frac{{10.6}}{5} = 12.$

Vậy x = 12.

Giải toán 8 tập 2 trang 57

Giải Bài 2 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Tam giác ABC có AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.

b) Tính tỉ số diện tích giữa \Delta ADB và \Delta ADC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC – BD = 10 – BD

Vì AD là phân giác của góc BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{10 – BD}} = \frac{6}{8} \Leftrightarrow 8BD = 6.\left( {10 – BD} \right) \Rightarrow 8BD = 60 – 6BD$

$\Leftrightarrow 8BD + 6BD = 60 \Leftrightarrow 14BD = 60 \Rightarrow BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}$

$\Rightarrow DC = 10 – \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}$

Vậy $BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm.$

b) Kẻ$AE \bot BC \Rightarrow AE$ là đường cao của tam giác ABC.

Vì $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot BD \Rightarrow AE$ là đường cao của tam giác ADB

Diện tích tam giác ADB là:

${S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE$

Vì $AE \bot BC \Rightarrow AE \bot DC \Rightarrow AE$là đường cao của tam giác ADC

Diện tích tam giác ADC là:

${S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE$

Ta có: $\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}.$

Vậy tỉ số diện tích giữa $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$ là $\frac{3}{4}.$

Giải Bài 3 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E ∈ AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Lời giải:

a) Ta có: $BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC – BD = 25 – BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{25 – BD}} = \frac{{15}}{{20}} \Leftrightarrow 20.BD = 15.\left( {25 – BD} \right) \Rightarrow 20.BD = 375 – 15.BD$

$ \Leftrightarrow 20BD + 15BD = 375 \Leftrightarrow 35BD = 375 \Rightarrow BD = \frac{{375}}{{35}} = \frac{{75}}{7}$

$ \Rightarrow DC = 25 – \frac{{75}}{7} = \frac{{100}}{7}$

Vậy $BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm$.

Vì $DE//AB$ nên $\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{25}} = \frac{{DE}}{{15}} \Leftrightarrow DE = \frac{{100}}{7}.15:25 = \frac{{60}}{7}$ (hệ quả của định lí Thales).

Vậy $BD = \frac{{75}}{7}cm;DC = \frac{{100}}{7}cm;DE = \frac{{60}}{7}cm$.

b) Xét tam giác $ABC$ có:

$B{C^2} = {25^2} = 625;A{C^2} = {20^2} = 400;A{B^2} = {15^2} = 225$

$ \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$

Do đó, tam giác$ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

c) Diện tích tam giác $ABC$ là

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.15.20 = 150\left( {c{m^2}} \right)$.

Xét tam giác $ADB$ và tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{\frac{{75}}{7}}}{{25}} = \frac{3}{7}$ và có chung chiều cao hạ từ đỉnh $A$. Do đó, diện tích tam giác $ADB$ bằng $\frac{3}{7}$ diện tích tam giác $ABC$.

Diện tích tam giác $ADB$ là:

${S_{ADB}} = 150.\frac{3}{7} = \frac{{450}}{7}\left( {c{m^2}} \right)$.

Diện tích tam giác $ACD$ là:

${S_{ACD}} = {S_{ABC}} – {S_{ADB}} = 150 – \frac{{450}}{7} = \frac{{600}}{7}$

Vì $ED//AB \Rightarrow \frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{\frac{{100}}{7}}}{{\frac{{75}}{{100}}}} = \frac{4}{3}$

Xét tam giác $ADE$ và tam giác $DCE$ ta có:

$\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{4}{3}$ và hai tam giác này có chung đường cao hạ từ $D$.

Do đó, $\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{DCE}}}} = \frac{4}{3}$.

Diện tích tam giác $ADE$ là

${S_{ADE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).4 = \frac{{2400}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)$

${S_{DCE}} = \frac{{600}}{7}:\left( {3 + 4} \right).3 = \frac{{1800}}{{49}}\left( {c{m^2}} \right)$.

Giải Bài 4 trang 57 Toán 8 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

a) Tính BC, DB, DC.

b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

a)

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}$

$ \Leftrightarrow B{C^2} = 25$

$ \Rightarrow BC = 5cm$

Ta có: $BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC – BD = 5 – BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{5 – BD}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4.BD = 3.\left( {5 – BD} \right) \Rightarrow 4.BD = 15 – 3.BD$

$ \Leftrightarrow 4BD + 3BD = 15 \Leftrightarrow 7BD = 15 \Rightarrow BD = \frac{{15}}{7}$

$ \Rightarrow DC = 5 – \frac{{15}}{7} = \frac{{20}}{7}$

Vậy $BC = 5cm;BD = \frac{{15}}{7}cm;DC = \frac{{20}}{7}cm$.

b) Diện tích tam giác $ABC$ vuông tại $A$ là:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)$

Mặt khác ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AH.5 = 6$

$ \Rightarrow AH = \frac{{6.2}}{5} = 2,4cm$.

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}$

$ \Leftrightarrow H{B^2} = A{B^2} – A{H^2}$

$ \Leftrightarrow H{B^2} = {3^2} – 2,{4^2}$

$ \Leftrightarrow H{B^2} = 3,24$

$ \Rightarrow HB = 1,8cm$

$HD = BD – BH = \frac{{15}}{7} – 1,8 = \frac{{12}}{7}cm$.

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H^2} + H{D^2} = A{D^2}$

$ \Leftrightarrow A{D^2} = {\left( {\frac{{12}}{7}} \right)^2} + 2,{4^2}$

$ \Leftrightarrow A{D^2} = \frac{{144}}{{49}} + \frac{{144}}{{25}}$

$ \Rightarrow AD \approx 2,95cm$

Vậy $AH = 2,4cm;HD = \frac{{12}}{7}cm;AD = 2,95cm$.

Giải Bài 5 trang 57 Toán 8 Tập 2:

 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC.

Hướng dẫn giải

Vì $MD$ là tia phân giác của góc $\widehat {AMB}$ nên $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AM}}{{BM}}$ (1)

Vì $ME$ là tia phân giác của góc $\widehat {AMC}$ nên $\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AM}}{{MC}}$(2);

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM = MC$ (3)

Từ (1); (2); (3) $ \Rightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}$

Xét tam giác $ABC$ có: $\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}$

Do đó, $DE//BC$(Định lí Thales đảo).