Toán 11 tập 1 trang 94 Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Giải toán 11 tập 1 trang 94 Bài 13 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 89

HĐ 2 trang 89 toán 11 tập 1

Cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ (H.4.41)

Nếu $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Lời giải:

Nếu mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ thì $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ song song với nhau.

LT 1 trang 89 toán 11 tập 1

Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m; n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD)

Hướng dẫn::

Nếu mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ thì $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ song song với nhau.

Lời giải:

Ta có: m // BC suy ra m // (BCD).

n // BD suy ra n // (BCD).

Mặt phẳng (m,n) chứa hai đường thẳng cắt nhau m và n cùng song song với mặt phẳng (BCD) nên mặt phẳng (m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

VD 1 trang 89 toán 11 tập 1

Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Hướng dẫn::

Hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Lời giải:

Do mặt bàn và mặt đất không có điểm chung nên chúng song song với nhau.

HĐ 3 trang 89 toán 11 tập 1

Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?

Hướng dẫn::

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Lời giải:

Mặt bìa trùng với mặt bàn.

LT 2 trang 90 toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho

$\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{NB}}{{NS}} = \frac{{PC}}{{PS}} = \frac{{QD}}{{QS}} = \frac{1}{2}$. Chứng minh rẳng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Hướng dẫn::

Nếu mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ thì $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ song song với nhau.

Lời giải:

Xét tam giác SAD có: $\frac{{MA}}{{MS}} = \frac{{QD}}{{QS}}$ suy ra MQ // AD do đó MQ // (ABCD)

Tương tự ta có: QP // (ABCD)

Vậy mp(MPQ) // mp(ABCD).

Lập luận tương tự, ta có mp(NPQ) // (ABCD).

Hai mặt phẳng (MPQ) và (NPQ) cùng đi qua điểm P và cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Toán 11 tập 1 trang 90

HĐ 4 trang 90 toán 11 tập 1

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)

a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Hướng dẫn::

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải:

a) Vì (P) // (Q), (R) cắt (P) suy ra (R) cũng cắt (Q).

b) a và b lần lượt là giao tuyến của (R) và các mp(P), (Q) do đó a và b đồng phẳng suy ra a và b không thể chéo nhau.

Mà a và b lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song (P) và (Q) suy ra a // b.

LT 3 trang 91 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn::

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải:

Ta có (MNPQ) // (ABCD) (chứng minh ở Ví dụ 2)

Vì vậy giao tuyến của (EMQ) với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau

Trong mặt phẳng (EMQ), qua E vẽ đường thẳng ET // MQ (T thuộc CD)

Như vậy, đường thẳng ET là giao tuyến của (EMQ) và (ABCD).

Toán 11 tập 1 trang 91

HĐ 5 trang 91 toán 11 tập 1

Cho mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d’ cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A’, B’, C’ (C khác C’). Gọi D là giao điểm của AC’ và (Q) (H.4.48)

a) Các cặp đường thẳng BD và CC’, B’D và AA’ có song song với nhau không?

b) Các tỉ số $\frac{{AB}}{{BC}},\frac{{AD}}{{DC’}}$ và $\frac{{A’B’}}{{B’C’}}$ có bằng nhau không?

Hướng dẫn::

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (Q) và (R) song song với nhau, suy ra giao tuyến của (ACC’) với hai mặt phẳng (Q) và (R) song song với nhau. Do đó BD // CC’

Mặt phẳng (Q) và (P) song song với nhau, suy ra giao tuyến của (C’AA’) với hai mặt phẳng (Q) và (P) song song với nhau. Do đó B’D // AA’

b) Xét tam giác ACC’ ta có BD // CC’ suy ra $\frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC’}}$

Xét tam giác C’AA’ ta có B’D // AA’ suy ra $ADDC’ = A’B’B’C’$

Do đó, $\frac{{AB}}{{BC’}} = \frac{{AD}}{{DC’}} = \frac{{A’B’}}{{B’C’}}$

LT 4 trang 91 toán 11 tập 1

Trong HĐ5, cho AB = 2cm, BC = 4cm và A’B’ =3cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B’C’.

Hướng dẫn::

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải:

Áp  dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến d, d’ ta có:

$\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A’B’}}{{B’C’}}$ suy ra $\frac{2}{4} = \frac{3}{{B’C’}}$

=> B’C’ = 6 (cm).

HĐ 6 trang 91 toán 11 tập 1

Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?

Hướng dẫn::

Dựa vào dấu hiệu hình lăng trụ đứng tam giác ta có thể tìm đặc điểm chung.

Lời giải:

– Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng vuông góc với đáy.

– Những mặt phẳng chứa đáy song song với nhau.

Toán 11 tập 1 trang 92

LT 5 trang 92 toán 11 tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Chứng minh rằng AMC.A’M’C’ là hình lăng trụ.

Hướng dẫn::

Cách chứng minh lăng trụ

– Hai mặt đáy của lăng trụ song song nhau.

– Các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành.

– Các cạnh bên song song, bằng nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau.

Lời giải:

Ta có M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’, BCC’B’ là hình bình hành suy ra MM’ // CC’.

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ đôi một song song nên AA’//CC’.

Mặt phẳng ((AMC) //(A’M’C’) nên AMC. AM’C’ là hình lăng trụ.

HĐ 7 trang 92 toán 11 tập 1

Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?

Hướng dẫn::

Hình bình hành là hình có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Lời giải:

Hình số 2.

Toán 11 tập 1 trang 93

LT 6 trang 93 toán 11 tập 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADD’A’) và (BCC’B’) song song với nhau.

Hướng dẫn::

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta dựa vào tính chất của hình hộp và hình bình hành:

Hai mặt đối diện của hình hộp là hai mặt không có điểm chung nên song song với nhau.

Lời giải:

Ta có: ABCD là hình bình hành suy ra AD // BC suy ra AD // (BCC’B’).

ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp suy ra DD’//CC’ suy ra DD’ // (BCC’B’).

(ADD’A’) chứa cặp cạnh cắt nhau song song với (BCC’B’) nên (ADD’A’) //(BCC’B’).

VD 2 trang 93 toán 11 tập 1

Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao.

Hướng dẫn::

Áp dụng định lí Thales trong không gian để giải thích sự bằng nhau giữa các tỉ lệ này.

Lời giải:

Mặt nước, nắp bể và đáy bể đôi một song với nhau song song với nhau, thanh gỗ đóng vai trò là cắt tuyến cắt các mặt phẳng đáy bể tại đầu thứ nhất của thanh gỗ, cắt mặt nước giao điểm giữa phần ngâm nước và phần chưa ngâm nước của thanh gỗ, cắt nắp bể tại đầu còn lại của thanh gỗ.

Áp dụng định lí Thales, ta có tỉ lệ giữa độ dài của phân thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể.

Bài 4.21 trang 93 Toán 11 tập 1

Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P),(Q),(R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q)thì (P) song song với (Q)

b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P)song song với (Q)

d) Nếu (P) và (Q)cắt (R)thì (P)và (Q) song song với nhau.

Lời giải

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

Toán 11 tập 1 trang 94

Bài 4.22 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA′,BB′,CC′. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Lời giải

Ta có: ABB’A’ là hình bình hành, M, N là trung điểm của AA’, BB’ nên MN // AC suy ra MN // (ABC)

Tương tự, ta có NP // BC suy ra NP (ABC)

Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP song song với mp(ABC) suy ra (MNP) //(ABC)

Bài 4.23 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Qua các điểm A,D lần lượt vẽ các đường thẳng m,n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng mp(B,m) và mp(C,n) song song với nhau.

Lời giải

Ta có: m // n suy ra m // (C,n)

AB // CD (do ABCD là hình thang) suy ra AB // (C,n)

Mặt phẳng (B,m) chứa hia đường thẳng cắt nhau m và AB song song với mp(C,n) suy ra (B,m) // (C,n)

Bài 4.24 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A₁, A₂ sao cho AA₁ = A₁A₂ = A₂S Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A₁,A₂. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₁,C₁. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B₂, C₂. Chứng minh BB₁ = B₁B₂ = B₂S và CC₁ = C₁C₂ = C₂S.

Lời giải

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SC ta có: $\frac{C_{2}S}{A_{2}S}=\frac{C_{1}C_{2}}{A_{1}A_{2}}=\frac{CC_{1}}{AA_{1}}$ mà $AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}S$ suy ra $CC_{1}=C_{1}C_{2}=C_{2}S$

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SB ta có: $\frac{B_{2}S}{A_{2}S}=\frac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}=\frac{BB_{1}}{AA_{1}}$ mà $AA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}S$ suy ra $BB_{1}=B_{1}C_{2}=B_{2}S$

Bài 4.25 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A’B’C’D’) cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A”, B”, C”, D”. Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A”, B”, C”, D” là hình gì?

Lời giải

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ đôi một song song nên AA”, BB”, CC” đôi một song song.

Mặt phẳng (ABCD) song song với (A”B”C”D”) (do cùng song song với (A’B’C’D’)) nên ABCD.A”B”C”D” là hình lăng trụ tứ giác

Bài 4.26 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG‘A’ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Lời giải

a) Ta có ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ΔABC = ΔA′B′C′ suy ra AG = A’G’

Lại có (ABC) // (A’B’C’), giao tuyến của mp(AGG’A’) với (ABC) và (A’B’C’) lần lượt là AG, A’G’ suy ra AG // A’G’

Như vậy , tứ giác AGG’A’ có AG = A’G’, AG // A’G’ là hình bình hành

b) AGG’A’ là hình bình hành suy ta AA’ // GG’

Lại có AA’ // CC’ (do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ)

Mặt phẳng (AGC) // (A’G’C’) suy ra AGC.A’G’C’ là hình lăng trụ

Bài 4.27 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB’A’) của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A’D’, B’C’ lần lượt tại M, N, M’, N’ (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A’B’N’M’ là hình hộp

Lời giải

Ta có (ABB’A’) // (MNN’M’), (ADD′A′) ∪ (ABB′A′) = AA′,(ADD′A′) ∪ (MNN′M′) = MM′ suy ra AA’//MM’

Tương tự, BB’ // NN’

ABNM.A’B’N’M’ có các cạnh bên đôi một song song, (ABNM) // (A’B’N’M’) suy ra ABNM.A’B’N’M’ là hình lăng trụ

Ta có: (ABB’A’) // (MNN’M’), (ABNM) ∪ (ABB′A′) = AB,(ABNM) ∪ (MNN′M′) = MN suy ra AB//MN

Bài 4.28 trang 94 Toán 11 tập 1

Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải

Các mặt của bậc thang đều song song với mặt sàn nên chúng đôi một song song với nhau

Mặt phẳng tường cắt các mặt bậc thang tại các mép nằm trên bờ tường nên chúng song song với nhau