Toán 11 tập 1 trang 122 Bài 17: Hàm số liên tục

Giải toán 11 tập 1 trang 122 Bài 17 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 119

HĐ 1 trang 119 toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}},\;x \ne 1}\\{2\;,\;x = 1}\end{array}} \right.$

Tính giới hạn $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ và so sánh giá trị này với $f\left( 1 \right)$.

Hướng dẫn::

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục ${x_0}$ khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x – 1} \left( {x + 1} \right) = 2$

$f\left( 1 \right) = 2$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

Toán 11 tập 1 trang 120

LT 1 trang 120 toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – x\;,x < 0}\\{0\;,\;x = 0}\\{{x^2},x > 0}\end{array}} \right.$ tại điểm ${x_0} = 0$.

Hướng dẫn::

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục ${x_0}$ khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^- }} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải:

Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^-}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {(-x)} = 0$

Suy ra,$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$

Vậy hàm số liên tục tại 0

HĐ 2 trang 120 toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x\;,\;0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{1\;,\frac{1}{2} < x \le 1}\end{array}} \right.$ và $g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\;,0 \le x \le \frac{1}{2}}\\{1\;,\frac{1}{2} < x \le 1}\end{array}} \right.$với đồ thị tương ứng như Hình 5.7

Xét tính liên tục của các hàm số f(x) và g(x) tại điểm $x = \frac{1}{2}$và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Hướng dẫn::

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( {a,b} \right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này

Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a,b} \right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left( {a,b} \right)$ và

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right),\;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ – }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$

Lời giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} 2x = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} 1 = 1$

$f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1$

Vậy $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} x = \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ – }} 1 = 1$

$g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}$

Vậy $g\left( x \right)$ gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$

Đồ thị $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],$ đồ thị $g\left( x \right)$ bị gián đoạn tại $x = \frac{1}{2}$

LT 2 trang 120 toán 11 tập 1

Tìm các khoảng trên đó hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 2}}$ liên tục.

Hướng dẫn::

Hàm phân thức liên tục trên tập xác định.

Lời giải:

Tập xác định của $f\left( x \right)$ là $\left( { – \infty ;\; – 2} \right) \cup \left( { – 2;\; + \infty } \right)$

Vây hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right);\left( { – 2; + \infty } \right)$.

Toán 11 tập 1 trang 121

HĐ 3 trang 121 toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và $g\left( x \right) =  – x + 1$

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại $x = 1$

b) Tính $L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \;\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$ và so sánh L với $f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)$.

Lời giải:

a)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} = 1$

$f\left( 1 \right) = {1^2} = 1$

Vậy $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( { – x + 1} \right) = 0$

$g\left( 1 \right) =  – 1 + 1 = 0$

Vậy $g\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$

b) $f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 1 + 0 = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} – x + 1} \right) = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)$

Vận dụng trang 121 toán 11 tập 1

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Lời giải:

Vận tốc trung bình trên quãng đường đi là: 180: 3 = 60 (km/h)

Vì vận tốc liên tục trong suốt thời gian chạy, có thời điểm vận tốc dưới trung bình và có thời điểm trên mức trung bình nên có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc bằng vận tốc trung bình là 60km/h.

Toán 11 tập 1 trang 122

Bài 5.14 trang 122 Toán 11 tập 1

Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và $\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2f(x)-g(x)]=3$ . Tính g(1)

Lời giải

Vì f(x) và g(x) liên tục tại x = 1 suy ra $2f(1)-g(1)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2f(x)-g(x)]=3$

suy ra g(1) = 1

Bài 5.15 trang 122 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng

a) f(x)=$\frac{x}{x^{2}+5x+6}$

b) $f_{(x)} \left\{\begin{matrix} 1 + x^{2} nếu x < 1 \\ 4 – x nếu x \geq 1 \end{matrix}\right.$

Lời giải

a) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+5x+6}=\frac{x}{(x+2)(x+3)}$

Tập xác định của f(x): D = R \{-2;-3}

Suy ra f(x) liên tục trên $(-\infty ;-3),(-3;-2) và (-2;+\infty )$

b) Tập xác định: D = R

Ta thấy $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(4-x)=3,\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x^{2})=2$

. Do đó không tồn tại giới hạn $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$

Vậy hàm số gián đoạn tại 1

Bài 5.16 trang 122 Toán 11 tập 1

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}sinx$ nếu $x\geq 0\\ -x+m$ nếu $x<0\end{matrix}\right$. liên tục trên R

Lời giải

Ta có: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}sinx=0$

Để hàm số liên tục trên R thì $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}sinx=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}(-x+m)=0\Rightarrow$ m=0

Bài 5.17 trang 122 Toán 11 tập 1

Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường đi chuyển

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a

Lời giải

a) $f(x)\;=\;\left\{\begin{array}{l}10000\;x\;nếu\;x\;\leq\;0.5\\5000\;+\;13500(x-\;0.5)\;nếu\;0.5<x\leq30\\403250\;+\;11000(x-30)\;nế\;ux>30\end{array}\right.$

b) +) Với 0 < x < 0,5 thì y = 10 000 là hàm hằng nên nó liên tục trên (0; 0,5).

+) Với 0,5 < x < 30 thì y = 13500x + 3 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (0,5; 30).

+) Với x > 30 thì y = 11 000x + 78 250 là hàm đa thức nên nó liên tục trên (30; +∞).

+) Ta xét tính liên tục của hàm số tại x = 0,5 và x = 30.

– Tại x = 0,5, ta có y(0,5) = 10 000;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ – }} 10000 = 10000\$

$\underset{{x\to 0,{{5}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to 0,{{5}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {13500x+3250} \right)$ =13 500 . 0,5 + 3 250 = 10 000.

Do đó, $\underset{{x\to 0,{{5}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to 0,{{5}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to 0,5}}{\mathop{{\lim }}}\,y=y\left( {0,5} \right)$ nên hàm số liên tục tại x = 0,5.

– Tại x = 30, ta có: y(30) = 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\displaystyle \underset{{x\to {{{30}}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to {{{30}}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {13500x+3250} \right)$ == 13 500 . 30 + 3 250 = 408 250;

$\displaystyle \underset{{x\to {{{30}}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to {{{30}}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {11000x+78250} \right)$ = 11 000 . 30 + 78 250 = 408 250.

Do đó,  $\displaystyle \underset{{x\to {{{30}}^{-}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to {{{30}}^{+}}}}{\mathop{{\lim }}}\,y=\underset{{x\to 30}}{\mathop{{\lim }}}\,y=y\left( {30} \right)$ nên hàm số liên tục tại x = 30.

Vậy hàm số ở câu a liên tục trên (0; +∞).