Giải Toán 11 tập 1 trang 99 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Giải toán 11 tập 1 trang 99 Bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 11 tập 1 trang 88

Hoạt động 1 trang 88 Toán 11 tập 1

Mặt bàn, mặt bảng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Hãy chỉ thêm các ví dụ khác về hình ảnh một phần của mặt phẳng.

Lời giải:

Một số hình ảnh một phần của mặt phẳng trong thực tế là: sàn nhà, mặt tường,…

Giải Toán 11 tập 1 trang 89

Thực hành 1 trang 89 Toán 11 tập 1

a) Vẽ hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật.

b) Quan sát Hình 4a và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

c) Quan sát Hình 4b và cho biết điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Lời giải:

a,

b) Các điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $A’,B’,C’,D’$.

Các điểm không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $A,B,C,D$.

c) Các điểm thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $A,C,D$.

Các điểm không thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$ là: $B$.

Hoạt động 2 trang 89 Toán 11 tập 1

Quan sát Hình 5 và cho biết muốn gác một cây sao tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào mấy điểm trên hai cọc đỡ.

Lời giải:

Từ hình ảnh ta thấy muốn gác một cây sao tập nhảy cao, người ta cần dựa nó vào một điểm trên mỗi cọc đỡ.

Giải Toán 11 tập 1 trang 90

Thực hành 2 trang 90 Toán 11 tập 1

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thắng đi qua hai trong bốn điểm đã cho?

Lời giải:

Do qua hai điểm phân biệt chỉ có một đường thẳng nên qua bốn điểm phân biệt không thẳng hàng $A,B,C,D$, ta xác định được sáu đường thẳng là $AB,AC,A{\rm{D}},BC,B{\rm{D}}$ và $C{\rm{D}}$.

Hoạt động 3

Quan sát Hình 7 và cho biết giá đỡ máy ảnh tiếp đất tại mấy điểm. Tại sao giá đỡ máy ảnh thường có ba chân?

Lời giải:

‒ Giá đỡ máy ảnh tiếp đất tại ba điểm.

‒ Giá đỡ máy ảnh thường có ba chân để giữ được cân bằng và đỡ được máy ảnh bên trên.

Thực hành 3 trang 90 Toán 11 tập 1

Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác $MNP$?

Lời giải:

Ba đỉnh của tam giác $MNP$ không thẳng hàng nên chỉ có một mặt phẳng đi qua ba đỉnh của tam giác $MNP$.

Hoạt động 4 trang 90 Toán 11 tập 1

Quan sát Hình 10 và cho biết người thợ mộc kiểm tra mặt bàn có phẳng hay không bằng một cây thước thẳng như thế nào.

Lời giải:

Người thợ mộc rê thước trên mặt bàn. Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại, nếu tất cả các điểm thuộc cạnh thước và mặt bàn thì mặt bàn đó phẳng.

Giải Toán 11 tập 1 trang 91

Thực hành 4 trang 91 Toán 11 tập 1

Cho mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua bốn đỉnh của tứ giác $ABCD$. Các điểm nằm trên các đường chéo của tứ giác $ABCD$ có thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$ không? Giải thích.

Lời giải:

Áp dụng tính chất 2, ta có mặt phẳng $\left( Q \right)$ là mặt phẳng duy nhất đi qua bốn điểm $A,B,C,D$.

Áp dụng tính chất 3, ta có mọi điểm nằm trên các đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác  $ABCD$ đều thuộc mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Hoạt động 5 trang 91 Toán 11 tập 1

Quan sát Hình 13 và cho biết bốn đỉnh $A,B,C,D$ của cái bánh giò có cùng nằm trên một mặt phẳng hay không.

Lời giải:

Bốn đỉnh $A,B,C,D$ của cái bánh giò không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Thực hành 5 trang 91 Toán 11 tập 1

Cho tam giác $MNP$ và cho điểm $O$ không thuộc mặt phẳng chứa ba điểm $M,N,P$. Tìm các mặt phẳng phân biệt được xác định từ bốn điểm $M,N,P,O$.

Lời giải:

Bốn điểm $M,N,P,O$ là bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng trong không gian (tồn tại theo tính chất 4). Ta xác định được bốn mặt phẳng phân biệt là: $\left( {MNP} \right)$, $\left( {MNO} \right),\left( {MPO} \right),\left( {NPO} \right)$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 92

Hoạt động 6 trang 92 Toán 11 tập 1

Quan sát Hình 14 và mô tả phần giao nhau của hai bức tường.

Lời giải:

Phần giao nhau của hai bức tường là một đường thẳng.

Thực hành 6 trang 92 Toán 11 tập 1

Cho $A,B,C$ là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ (Hình 16). Chứng minh $A,B,C$ thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có: $A,B,C$ là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ nên $A,B,C$ cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$ (theo tính chất 5).

Vậy $A,B,C$ thẳng hàng.

Hoạt động 7 trang 92 Toán 11 tập 1

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$, cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB,AC$ (Hình 17). Tính tỉ số $\frac{{MN}}{{BC}}$.

Lời giải:

Xét tam giác $ABC$. Ta có:

$M$ là trung điểm của $AB$.

$N$ là trung điểm của $AC$.

$ \Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$ \Rightarrow MN = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}$

Giải Toán 11 tập 1 trang 93

Vận dụng 1 trang 93 Toán 11 tập 1

Tại sao muốn cánh cửa đóng mở được êm thì các điểm gắn bản lề $A,B,C$ của cánh cửa và mặt tường (Hình 19) phải cùng nằm trên một đường thẳng?

Lời giải:

Do mặt tường và cánh cửa là hai mặt phẳng phân biệt nên theo tính chất 5, các điểm trên bản lề phải nằm trên một đường thẳng để mặt phẳng cánh cửa tiếp xúc với mặt phẳng tường qua 1 đường thẳng (chính là giao tuyến của mặt phẳng tường và mặt phẳng cánh cửa). Khi đó cánh cửa đóng mở được êm hơn.

Giải Toán 11 tập 1 trang 94

Hoạt động 8 trang 94 Toán 11 tập 1

Cho đường thẳng $a$ và điểm $A$ không nằm trên $a$. Trên $a$ lấy hai điểm $B,C$. Đường thẳng $a$ có nằm trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ không? Giải thích.

Lời giải:

Áp dụng tính chất 2, ta có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt $A,B,C$ là mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Áp dụng tính chất 3, ta có đường thẳng $a$ có hai điểm phân biệt $B,C$ nằm trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nên mọi điểm của đường thẳng $a$ cũng nằm trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. Vậy đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 95

Hoạt động 9 trang 95 Toán 11 tập 1

Hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Trên $a,b$ lấy lần lượt hai điểm $M,N$ khác $O$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua ba điểm $M,N,O$ (Hình 25). Mặt phẳng $\left( P \right)$ có chứa cả hai đường thẳng $a$ và $b$ không? Giải thích.

Lời giải:

Áp dụng tính chất 2, ta có $\left( P \right)$ là mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm phân biệt $A,B,C$ là mặt phẳng $M,N,O$.

Áp dụng tính chất 3, ta có

– Đường thẳng $a$ có hai điểm phân biệt $M,O$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ nên mọi điểm của đường thẳng $a$ cũng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Vậy đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

– Đường thẳng $b$ có hai điểm phân biệt $N,O$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ nên mọi điểm của đường thẳng $b$ cũng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Vậy đường thẳng $b$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Thực hành 7 trang 95 Toán 11 tập 1

Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $O$ và điểm $M$ không thuộc $mp\left( {a,b} \right)$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {M,a} \right)$ và $\left( {M,b} \right)$.

b) Lấy $A,B$ lần lượt là hai điểm trên $a,b$ và khác với điểm $O$. Tìm giao tuyến của $\left( {MAB} \right)$ và $mp\left( {a,b} \right)$.

c) Lấy điểm $A’$ trên đoạn $MA$ và điểm $B’$ trên đoạn $MB$ sao cho đường thẳng $A’B’$ cắt $mp\left( {a,b} \right)$ tại $C$. Chứng minh ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( {M,a} \right)\\M \in \left( {M,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\\\left. \begin{array}{l}O \in a \subset \left( {M,a} \right)\\O \in b \subset \left( {M,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {M,a} \right)$ và $\left( {M,b} \right)$ là đường thẳng $MO$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}A \in \left( {MAB} \right)\\A \in a \subset \left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {a,b} \right)\\\left. \begin{array}{l}B \in \left( {MAB} \right)\\B \in b \subset \left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow B \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {a,b} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MAB} \right)$ và $\left( {a,b} \right)$ là đường thẳng $AB$ (1).

c) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}A’ \in MA \subset \left( {MAB} \right)\\B’ \in MB \subset \left( {MAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A’B’ \subset \left( {MAB} \right)$

Vì $C \in A’B’ \subset \left( {MAB} \right)$ và $C \in mp\left( {a,b} \right)$ nên điểm $C$ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MAB} \right)$ và $\left( {a,b} \right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

Vận dụng 2 trang 95 Toán 11 tập 1

Giải thích tại sao ghế bốn chân có thể bị khập khiễng còn ghế ba chân thì không.

Lời giải:

‒ Với ghế 4 chân, nếu 4 điểm tại chân ghế không thuộc một mặt phẳng thì ghế có thể bị khập khiễng.

‒ Với ghế 3 chân, ta chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm thuộc chân ghế nên ghế ba chân không thể khập khiễng.

Vận dụng 3 trang 95 Toán 11 tập 1

Trong xây dựng, người ta thường dùng máy quét tia laser để kẻ các đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà. Tìm giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi các tia laser $OA$ và $OB$ với các mặt tường trong Hình 29.

Lời giải:

Từ Hình 29 ta thấy: Giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi các tia laser $OA$ và $OB$ với các mặt tường là $AC$ và $BC$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 96

Hoạt động 10 trang 96 Toán 11 tập 1

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình gì?

b) Tìm điểm giống nhau của các hình trong Hình 31.

Lời giải:

a) Các công trình kiến trúc, đồ vật trong Hình 30 có mặt bên là hình tam giác.

b) Điểm giống nhau của các hình trong Hình 31 là: có các mặt bên là hình tam giác.

Giải Toán 11 tập 1 trang 97

Hoạt động 11 trang 97 Toán 11 tập 1

Trong Hình 34, hình chóp nào có số mặt ít nhất?

Lời giải:

Hình chóp a) có 4 mặt.

Hình chóp b) có 5 mặt.

Hình chóp c) có 6 mặt.

Hình chóp d) có 7 mặt.

Vậy hình a) có số mặt ít nhất.

Giải Toán 11 tập 1 trang 98

Thực hành 8 trang 98 Toán 11 tập 1

Cho tứ diện $SABC$. Gọi $H,K$ lần lượt là hai điểm trên hai cạnh $SA$ và $SC\left( {H \ne S,A;K \ne S,C} \right)$ sao cho $HK$ không song song với $AC$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ (Hình 38).

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $HK$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

b) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $\left( {SAI} \right)$ và $\left( {ABK} \right)$; $\left( {SAI} \right)$ và $\left( {BCH} \right)$.

Lời giải:

a) Gọi $D = HK \cap AC$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}D \in AC \subset \left( {ABC} \right)\\D \in HK\end{array} \right\} \Rightarrow M = HK \cap \left( {ABC} \right)$

b) Gọi $E = SI \cap BK$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}E \in SI \subset \left( {SAI} \right)\\E \in BK \subset \left( {ABK} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {ABK} \right)$

Mà $A \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {ABK} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAI} \right)$ và $\left( {ABK} \right)$ là đường thẳng $AE$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}I \in \left( {SAI} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {BCH} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in SA \subset \left( {SAI} \right)\\H \in \left( {BCH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {SAI} \right) \cap \left( {BCH} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAI} \right)$ và $\left( {BCH} \right)$ là đường thẳng $HI$.

Vận dụng 4 trang 98 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp $S.ABCD$. Trên các cạnh bên của hình chóp lấy lần lượt các điểm $A’,B’,C’,D’$. Cho biết $AC$ cắt $B{\rm{D}}$ tại $O$, $A’C’$ cắt $B'{\rm{D’}}$ tại $O’$, $AB$ cắt $DC$ tại $E$ và $A’B’$ cắt $D’C’$ tại $E’$ (Hình 39). Chứng minh rằng:

a) $S,O’,O$ thẳng hàng;

b) $S,E’,E$ thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}O’ \in A’C’ \subset \left( {SAC} \right)\\O’ \in B’D’ \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O’ \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array}$

Mà $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

Do đó, $S,O,O’$ cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SB{\rm{D}}} \right)$.

Vậy $S,O’,O$ thẳng hàng.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in CD \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}E’ \in A’B’ \subset \left( {SAB} \right)\\E’ \in C’D’ \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E’ \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array}$

Mà $S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)$

Do đó, $S,E,E’$ cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SC{\rm{D}}} \right)$.

Vậy $S,E,E’$ thẳng hàng.

Vận dụng 5 trang 98 Toán 11 tập 1

Nêu cách tạo lập tứ diện đều $SABC$ từ tam giác đều $SS’S”$ theo gợi ý ở Hình 40.

Lời giải:

• Cách dựng:

Bước 1: Gọi $A,B,C$ lần lượt là trung điểm của $SS’,S’S”,SS”$.

Bước 2: Gấp các đường $AB,BC,AC$ sao cho các điểm $S,S’,S”$ trùng nhau.

Khi đó, ta được tứ diện đều $SABC$.

• Chứng minh:

Vì $A,B,C$ lần lượt là trung điểm của $SS’,S’S”,SS”$ nên theo tính chất đường trung bình của tam giác, ta có: $SA = S’A = S’B = S”B = SC = S’C = AB = BC = AC = \frac{1}{2}SS’$.

Do vậy các tam giác $SAC,S’AB,S”BC,ABC$ là các tam giác đều.

Vậy tứ diện $SABC$ có các mặt $SAC,SAB,SBC,ABC$ là các tam giác đều nên tứ diện $SABC$ là tứ diện đều.

Giải Toán 11 tập 1 trang 99

Giải bài 1 trang 99 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp $S.ABCD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $B{\rm{D}}$. Lấy $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $SA,SC$.

a) Chứng minh đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

b) Chứng minh $O$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SB{\rm{D}}} \right)$.

Lời giải

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAC} \right)\\N \in SC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN \subset \left( {SAC} \right)$

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in B{\rm{D}} \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

Giải bài 2 trang 99 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$.

a) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$. Chứng minh $IA = 2IM$.

b) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $S{\rm{D}}$ và mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$.

c) Gọi $N$ là một điểm tuỳ ý trên cạnh $AB$. Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Lời giải

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $SO$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\I \in AM\end{array} \right\} \Rightarrow I = AM \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

Xét tam giác $SAC$ có:

$ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ $ \Rightarrow SO$ là trung truyến của tam giác $SAC$.

Theo đề bài ta có $M$ là trung điểm của $SC$ $ \Rightarrow AM$ là trung truyến của tam giác $SAC$.

Mà $I = SO \cap AM$

$ \Rightarrow I$ là trọng tâm của tam giác SAC suy ra IA = 2IM.

b) Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $E$ là giao điểm của $S{\rm{D}}$ và $BI$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}E \in BI \subset \left( {ABM} \right)\\E \in S{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow E = S{\rm{D}} \cap \left( {ABM} \right)$

c) Mặt phẳng (ABM) chứa BE, MN. Gọi $J$ là giao điểm của $MN$ và $BE$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}J \in BE \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\J \in MN\end{array} \right\} \Rightarrow J = MN \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

Giải bài 3 trang 99 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB,SD$; $P$ thuộc đoạn $SC$ và không là trung điểm của $SC$.

a) Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

b) Tìm giao điểm $Q$ của đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

c) Gọi $I,J,K$ lần lượt là giao điểm của $QM$ và $AB$, $QP$ và $AC$, $QN$ và $A{\rm{D}}$. Chứng minh $I,J,K$ thẳng hàng.

Lời giải

a) Gọi $E$ là giao điểm của $SO$ và $MN$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}E \in MN \subset \left( {MNP} \right)\\E \in S{\rm{O}}\end{array} \right\} \Rightarrow E = S{\rm{O}} \cap \left( {MNP} \right)$

b) Gọi $Q$ là giao điểm của $SA$ và $EP$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}Q \in EP \subset \left( {MNP} \right)\\Q \in S{\rm{A}}\end{array} \right\} \Rightarrow Q = S{\rm{A}} \cap \left( {MNP} \right)$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}I \in QM \subset \left( {MNP} \right)\\I \in AB \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}J \in QP \subset \left( {MNP} \right)\\J \in AC \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}K \in QN \subset \left( {MNP} \right)\\K \in AD \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow K \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\end{array}$

Do đó, $I,J,K$ cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

Vậy $I,J,K$ thẳng hàng.

Giải bài 4 trang 99 Toán 11 tập 1

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F,G$ lần lượt là ba điểm trên ba cạnh $AB,AC,BD$ sao cho $EF$ cắt $BC$ tại $I\left( {I \ne C} \right)$, $EG$ cắt $A{\rm{D}}$ tại $H\left( {H \ne D} \right)$.

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$; $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$.

b) Chứng minh ba đường thẳng $CD,IG,HF$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}G \in \left( {EFG} \right)\\G \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {EFG} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng $GI$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in \left( {EFG} \right)\\F \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in EG \subset \left( {EFG} \right)\\H \in A{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng $HF$.

b) Gọi $J$ là giao điểm của $CD$ và $IG$.

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}J \in IG \subset \left( {EFG} \right)\\J \in C{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$

Mà $F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right),H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ (theo chứng minh phần a).

Do đó ba điểm $H,F,J$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $CD,IG,HF$ cùng đi điểm $J$.

Giải bài 5 trang 99 Toán 11 tập 1

Thước laser phát ra tia laser, khi tia này quay sẽ tạo ra mặt phẳng ánh sáng (Hình 41). Giải thích tại sao các thước kẻ laser lại giúp người thợ xây dựng kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.

Lời giải

Do tia laser quay sẽ tạo ra một mặt phẳng, mặt phẳng này giao với mặt phẳng tường hoặc sàn nhà tạo thành một đường thẳng. Do đó có thể giúp người thợ kẻ được đường thẳng trên tường hoặc sàn nhà.