Giải Toán 11 tập 1 trang 84 Bài 3 : Hàm số liên tục

Giải toán 11 tập 1 trang 84 Bài 3 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 11 tập 1 trang 80

Hoạt động 1 trang 80 Toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 – x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm ${x_0} = 1$ và ${x_0} = 2$, có tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng $f\left( {{x_0}} \right)$ không?

Lời giải:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 1 = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} 1 = 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {5 – x} \right) = 5 – 2 = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 2 = 3$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = 1 + 2 = 3$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 81

Thực hành 1 trang 81 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left( x \right) = 1 – {x^2}$ tại điểm ${x_0} = 3$;

b) $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x > 1}\\{ – x}&{khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.$ tại điểm ${x_0} = 1$.

Lời giải:

a) $f\left( 3 \right) = 1 – {3^2} = 1 – 9 =  – 8$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 – {x^2}} \right) = 1 – {3^2} = 1 – 9 =  – 8$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) =  – 8$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 3$.

b) $f\left( 1 \right) =  – 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( { – x} \right) =  – 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Hoạt động 2 trang 81 Toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$.

b) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right)$ và so sánh giá trị này với $f\left( 2 \right)$.

c) Với giá trị nào của $k$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k$?

Lời giải:

a) Với mọi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$, ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mỗi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3$.

$f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3$.

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2$

Vậy với $k = 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 82

Thực hành 2 trang 82 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số $y = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} $ trên $\left[ {1;2} \right]$.

Lời giải:

Đặt $f\left( x \right) = \sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} $

Với mọi ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$, ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x – 1}  + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2 – x} \\ & \,\,\,\,\, = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}  + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x}  = \sqrt {{x_0} – 1}  + \sqrt {2 – {x_0}}  = f\left( {{x_0}} \right)\end{array}$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} } \right)\\ &  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1}  + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x}  = \sqrt {1 – 1}  + \sqrt {2 – 1}  = 1 = f\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {\sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {\sqrt {x – 1}  + \sqrt {2 – x} } \right)\\ &  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} 1}  + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} 2 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} x}  = \sqrt {2 – 1}  + \sqrt {2 – 2}  = 1 = f\left( 2 \right)\end{array}$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$.

Vận dụng 1 trang 82 Toán 11 tập 1

Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:

$P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$                ($k$ là một hãng số).

a) Với $k = 0$, xét tính liên tục của hàm số $P\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$?

Lời giải:

a) Với $k = 0$, hàm số có dạng $P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$

• Với mọi ${x_0} \in \left( {0;400} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right) = 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right)$.

• Với mọi ${x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

• $f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} x = 4,5.400 = 1800$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} {\rm{ }}P\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại điểm ${x_0} = 400$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Xét hàm số $P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$ ($k$ là một hãng số)

Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {0;400} \right)$ và $\left( {400; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} x = 4,5.400 = 1800$.

Để hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = P\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} = 400$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 400$ thì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ – }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right) \Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200$

Vậy với $k = 200$ thì hàm số $P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$

Hoạt động 3 trang 82 Toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}}$ và $y = g\left( x \right) = \sqrt {4 – x} $.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Lời giải:

a) • $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}}$

ĐKXĐ: $x – 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$

Vậy hàm số có tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

• $y = g\left( x \right) = \sqrt {4 – x} $

ĐKXĐ: $4 – x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4$

Vậy hàm số có tập xác định: $D = \left( { – \infty ;4} \right]$.

b) • Với mọi ${x_0} \in \left( { – \infty ;1} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{x – 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1}} = \frac{1}{{{x_0} – 1}} = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( { – \infty ;1} \right)$.

Tương tự ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: Hàm số không xác định tại điểm ${x_0} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x – 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{1}{{x – 1}} =  – \infty $

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

• Với mọi ${x_0} \in \left( { – \infty ;4} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {4 – x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 4 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x}  = \sqrt {4 – {x_0}}  = g\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( { – \infty ;4} \right)$.

Ta có: $g\left( 4 \right) = \sqrt {4 – 4}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \sqrt {4 – x}  = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} 4 – \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} x}  = \sqrt {4 – 4}  = 0 = g\left( 4 \right)$

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 4$.

Hàm số không xác định tại mọi ${x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = g\left( x \right)$ không liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {4; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ liên tục trên nửa khoảng $\left( { – \infty ;4} \right]$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 83

Thực hành 3 trang 83 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 4} $.

Lời giải:

ĐKXĐ: ${x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  – 2\end{array} \right.$

Vậy hàm số có TXĐ: $D = \left( { – \infty ; – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 4} $ là hàm số căn thức nên nó liên tục trên các nửa khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \sqrt {{x^2} – 4}  = \sqrt {{2^2} – 4}  = 0 = f\left( 2 \right)$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} \sqrt {{x^2} – 4}  = \sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} – 4}  = 0 = f\left( { – 2} \right)$

Vậy hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 4} $ liên tục trên các nửa khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right]$ và $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Thực hành 4 trang 83 Toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} – 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.$.

Tìm $a$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

Trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$, $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 2x}}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( 0 \right) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} – 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x – 2} \right) = 0 – 2 =  – 2$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} = 0$.  Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a =  – 2$.

Vậy với $a =  – 2$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Vận dụng 2 trang 83 Toán 11 tập 1

Một hãng taxi đưa ra giá cước $T\left( x \right)$ (đồng) khi đi quãng đường $x$ (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

$T\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000}&{khi\,\,0 < x \le 0,7}\\{ – 10000 + \left( {x – 0,7} \right).14000}&{khi{\rm{ }}0,7 < x \le 20}\\{280200 + \left( {x–20} \right).12000}&{khi{\rm{ }}x > 20}\end{array}} \right.$

Xét tính liên tục của hàm số $T\left( x \right)$.

Lời giải:

Hàm số $T\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $T\left( x \right)$ xác định trên từng khoảng $\left( {0;0,7} \right),\left( {0,7;20} \right)$ và $\left( {20; + \infty } \right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $T\left( {0,7} \right) = 10000$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} \left( {10000 + \left( {x – 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {0,7 – 0,7} \right).14000 = 10000\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ – }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ – }} 10000 = 10000\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{7^ – }} T\left( x \right) = 10000$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,7} T\left( x \right) = 10000 = T\left( {0,7} \right)$.

Vậy hàm số $T\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 0,7$.

Ta có: $T\left( {20} \right) = 10000 + \left( {20 – 0,7} \right).14000 = 280200$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} \left( {280200 + \left( {x – 20} \right).12000} \right) = 280200 + \left( {20 – 20} \right).12000 = 280200\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ – }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ – }} \left( {10000 + \left( {x – 0,7} \right).14000} \right) = 10000 + \left( {20 – 0,7} \right).14000 = 280200\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{20}^ – }} T\left( x \right) = 280200$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} T\left( x \right) = 280200 = T\left( {20} \right)$.

Vậy hàm số $T\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 20$.

Vậy hàm số $T\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hoạt động 4 trang 83 Toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}}$ và $y = g\left( x \right) = \sqrt {4 – x} $.

Hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ có liên tục tại $x = 2$ không? Giải thích.

Lời giải:

Đặt $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}} + \sqrt {4 – x} $. Ta có:

$\begin{array}{l}h\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 – 1}} + \sqrt {4 – 2}  = 1 + \sqrt 2 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x} \left( {\frac{1}{{x – 1}} + \sqrt {4 – x} } \right) = \frac{1}{{2 – 1}} + \sqrt {4 – 2}  = 1 + \sqrt 2 \end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 84

Giải Thực hành 5 trang 84 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của các hàm số:

a) $y = \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 – x$;

b) $y = \frac{{{x^2} – 1}}{x}.\cos x$.

Lời giải:

a) TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1} $ xác định trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y = 3 – x$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 – x$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Hàm số $y = \frac{{{x^2} – 1}}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \cos x$ là hàm lượng giác nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số $y = \cos x$ cũng liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y = \frac{{{x^2} – 1}}{x}.\cos x$ liên tục trên các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Giải Vận dụng 3 trang 84 Toán 11 tập 1

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$, bán kính bằng 1. Một đường thẳng $d$ thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm $M$ có hoành độ $x\left( { – 1 < x < 1} \right)$ và cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại các điểm $N$ và $P$ (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức $S\left( x \right)$ biểu thị diện tích của tam giác $ONP$.

b) Hàm số $y = S\left( x \right)$ có liên tục trên $\left( { – 1;1} \right)$ không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} S\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} S\left( x \right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 – {x^2}} $.

Độ dài $OM$ chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm $M$. Vậy $OM = \left| x \right|$.

Độ dài $MN$ chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm $N$. Vậy $MN = \left| {\sqrt {1 – {x^2}} } \right| = \sqrt {1 – {x^2}} $.

$S\left( x \right) = {S_{ONP}} = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM = \sqrt {1 – {x^2}} .\left| x \right|$.

b) Xét hàm số  $S\left( x \right) = \sqrt {1 – {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 – {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ – x\sqrt {1 – {x^2}} }&{khi\,\, – 1 \le x < 0}\end{array}} \right.$.

ĐKXĐ: $1 – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  – 1 \le x \le 1$

Hàm số $S\left( x \right)$ có tập xác định là $\left[ { – 1;1} \right]$.

Vậy hàm số $S\left( x \right)$ xác định trên các khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ nên liên tục trên các khoảng $\left( { – 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Ta có: $S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 – {0^2}}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 – {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 – {0^2}}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( { – x\sqrt {1 – {x^2}} } \right) =  – 0.\sqrt {1 – {0^2}}  = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} S\left( x \right) = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)$

Vậy hàm số $S\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 0$. Vậy hàm số $S\left( x \right)$ liên tục trên $\left( { – 1;1} \right)$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {x\sqrt {1 – {x^2}} } \right) = 1.\sqrt {1 – {1^2}}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} \left( { – x\sqrt {1 – {x^2}} } \right) =  – 1.\sqrt {1 – {{\left( { – 1} \right)}^2}}  = 0$

Giải bài 1 trang 84 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+1; x \geq 0\\1-x; x<0\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 0

b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+2; x \geq1\\ x; x<1\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 1

Lời giải

a) $\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{-}}(1-x)=1-0=1$

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}(x^{2}+1)=0^{2}+1=1$

Suy ra: $\lim_{x \to 0}f(x)= f(0)$

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0

b) $\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}x=1$

$\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+2)=1^{2}+2=3$

Suy ra không tồn tại $\lim_{x \to 1}f(x)$

Vậy hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1

Giải bài 2 trang 84 Toán 11 tập 1

Cho hàm số $\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-4}{x+2}; x \neq -2\\ a; x=-2\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Lời giải

Ta có: $\lim_{x \to -2}f(x)=\lim_{x \to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2} = \lim_{x \to -2}\frac{(x-2)(x+2)}{x+2} =\lim_{x \to -2}(x-2)=-2-2=-4$

f(-2) = a

Để hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số f(x) phải liên tục tại $x_{0}=-2$

Hay $\lim_{x \to -2}f(x) = f(-2)$

Suy ra: a = -4

Giải Toán 11 tập 1 trang 85

Giải bài 3 trang 85 Toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) $f(x) = \frac{x}{x^{2}-4}$

b) $g(x) = \sqrt{9-x^{2}}$

c) $h(x) = cosx + tanx$

Lời giải

a) $f(x) = \frac{x}{x^{2}-4}$ là hàm số phân thức có tập xác định là $(-\infty;2) \cup (2;+\infty)$

Nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;2) và (2;+\infty)$

b) $g(x) = \sqrt{9-x^{2}}$ là hàm số căn thức có tập xác định là [-3;3] nên hàm só g(x) liên tục trên đoạn [-3;3]

c) h(x) = cosx + tanx là hàm số lượng giác có tập xác định là $\mathbb{R} \ { \frac{\pi}{2} + k\pi }$

Nên hàm số h(x) liên tục trên các khoảng $\mathbb{R} \ { \frac{\pi}{2} + k\pi }$

Giải bài 4 trang 85 Toán 11 tập 1

Cho hàm số f(x) = 2x -sinx , g(x) = $\sqrt{x-1}$

Xét tính liên tục hàm số $y = f(x).g(x) và y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Lời giải

Hàm số f(x) = 2x – sinx liên tục với mọi $x \in \mathbb{R}$

Hàm số $g(x) = \sqrt{x-1}$ liên tục trên khoảng $[1;+\infty)$

Suy ra: hàm số $y=f(x).g(x)$ liên tục trên khoảng $[1;+\infty)$

$g(x) \neq 0$ khi $x \neq 1$

Suy ra hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục trên khoảng $(1;+\infty)$

Giải bài 5 trang 85 Toán 11 tập 1

Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Lời giải

C(x) = 60000 khi $x \in (0;2)$ nên hàm số C(x) liên tục trên (0;2)

C(x) = 100000 khi $x \in (2;4)$ nên hàm số C(x) liên tục trên (2;4)

C(x) = 200000 khi $x \in (4;24)$ nên hàm số C(x) liên tục trên (4;24)

Ta có:

$\lim_{x \to 2^{-}}C(x)= 60000$

$\lim_{x \to 2^{+}}C(x)= 100000$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 2}$ hay hàm số C(x) không liên tục tại 2

$\lim_{x \to 4^{-}}C(x)= 100000$

$\lim_{x \to 4^{+}}C(x)= 200000$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 4}$ hay hàm số C(x) không liên tục tại 4

Giải bài 6 trang 85 Toán 11 tập 1

Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là:

$F(r)=\left\{\begin{matrix} \frac{GMr}{R^{3}}; 0 < r < R\\ \frac{GM}{r^{2}}; r\geq R\end{matrix}\right.$

Trong đó M là khối lương, R là bán kính của Trái đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên $(0;+\infty)$ không?

Lời giải

$\lim_{r \to R^{-}}F(r)=\lim_{r \to R^{-}}\frac{GMr}{R^{3}}=\frac{GMR}{R^{3}}=\frac{GM}{R^{2}}$

$\lim_{r \to R^{+}}F(r)=\lim_{r \to R^{+}}\frac{GM}{r^{2}}=\frac{GM}{R^{2}}$

Suy ra: $\lim_{r \to R}F(r) = F(R)$. Hay hàm số F(r) liên tục tại $r_{0} = R$

$F(r)= \frac{GMr}{R^{3}} khi 0 < r < R$ nên hàm F(r) liên tục trên (0;R)

$F(r)= \frac{GM}{r^{3}}$ khi r > R nên hàm F(r) liên tục trên $(R;+\infty)$

Vậy hàm số F(r) liên tục trên $(0;+\infty)$