Giải Toán 11 tập 1 trang 62 Bài tập cuối chương 2
Giải Toán 11 tập 1 trang 62 Bài tập cuối chương 2
Giải toán 11 tập 1 trang 62 Bài tập cuối chương 2 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải Toán 11 tập 1 trang 61
Giải bài 1 trang 61 Toán 11 tập 1
Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_{n})$ lần lượt là:
A. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{27}$
B. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$
C. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{25}$
D. $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{28}$
Lời giải
Đáp án B
Giải bài 2 trang 61 Toán 11 tập 1
Cho dãy số: $\frac{1}{3}; \frac{1}{3^{2}};\frac{1}{3^{3}};\frac{1}{3^{4}};\frac{1}{3^{5}};…$ Số hạng tổng quát của dãy số này là
A. $u_{n}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3^{n+1}}$
B. $u_{n}=\frac{1}{3^{n+1}}$
C. $u_{n}=\frac{1}{3^{n}}$
D. $u_{n}=\frac{1}{3^{n-1}}$
Lời giải
Đáp án C
Giải bài 3 trang 61 Toán 11 tập 1
Cho dãy số $(u_{n}) với u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn
B. Dãy số giảm và bị chặn
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới
D. Dãy số giảm và bị chặn trên
Lời giải
$u_{n}=\frac{n+1}{n+2} = 1 – \frac{1}{n+2}$
$u_{n+1} = 1 – \frac{1}{n+3}<1-\frac{1}{n+2}=u_{n}, \forall n\in \mathbb{N}^{*} .$
Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm
$u_{n}= 1 – \frac{1}{n+2}<1,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên
$u_{n}= 1 – \frac{1}{n+2}>\frac{1}{2},\forall n\in \mathbb{N}^{*}$. Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới
Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn
Đáp án: B
Giải bài 4 trang 61 Toán 11 tập 1
Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1}$, công sai d. Khi đó, với $n\geq 2$ ta có
A. $u_{n}=u_{1}+d$
B. $u_{n}=u_{1}+(n+1)d$
C. $u_{n}=u_{1}-(n-1)d$
D. $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$
Lời giải
Đáp án D
Giải bài 5 trang 61 Toán 11 tập 1
Cho cấp số cộng (un) có u1 = 3 và u2 = −1. Khi đó
A. u3 = 4
B. u3 = 2
C. u3 = −5
D. u3 = 7
Lời giải
Đáp án C
Giải Toán 11 tập 1 trang 62
Giải bài 6 trang 62 Toán 11 tập 1
Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = −1 và công sai d = 3. Khi đó S5 bằng
A. 11
B. 50
C. 10
D. 25
Lời giải
Đáp án D
Giải bài 7 trang 62 Toán 11 tập 1
Có bao nhiêu số thực x để 2x – 1; x; 2x + 1 theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
$2x – 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi:
${x^2} = \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} = 4{{\rm{x}}^2} – 1 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Vậy có 2 số thực $x$ thoả mãn $2x – 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Chọn B.
Giải bài 8 trang 62 Toán 11 tập 1
Một tam giác có số đo các góc lập thành cấp số nhân có công bội q = 2. Số đo các góc của tam giác đó lần lượt là:
A. $\frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{3}; \frac{\pi }{2}$
B. $\frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}$
C. $\frac{\pi }{6}; \frac{2\pi }{6}; \frac{4\pi }{6}$
D. $\frac{\pi }{7}; \frac{2\pi }{7}; \frac{4\pi }{7}$
Lời giải
Giả sử số đo ba góc của tam giác lần lượt là ${u_1};{u_1}.2 = 2{u_1};{u_1}{.2^2} = 4{u_1}\left( {{u_1} > 0} \right)$.
Tổng số đo ba góc của một tam giác bằng $\pi $ nên ta có phương trình:
${u_1} + 2{u_1} + 4{u_1} = \pi \Leftrightarrow 7{u_1} = \pi \Leftrightarrow {u_1} = \frac{\pi }{7}$
Vậy số đo các góc của tam giác đó lần lượt là: $\frac{\pi }{7};\frac{{2\pi }}{7};\frac{{4\pi }}{7}$.
Chọn D.
Giải bài 9 trang 62 Toán 11 tập 1
Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{3^{n}-1}{2^{n}}$
Lời giải
Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{{{{3.3}^n} – 1}}{{{{2.2}^n}}}$.
Xét hiệu:
$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{{{3.3}^n} – 1}}{{{{2.2}^n}}} – \frac{{{3^n} – 1}}{{{2^n}}} = \frac{{\left( {{{3.3}^n} – 1} \right) – 2.\left( {{3^n} – 1} \right)}}{{{{2.2}^n}}}\\ = \frac{{{{3.3}^n} – 1 – {{2.3}^n} + 2}}{{{{2.2}^n}}} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^{n + 1}}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\\end{array}$
Vậy ${u_{n + 1}} – {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.
Giải bài 10 trang 62 Toán 11 tập 1
Xét tính bị chặn của dãy số $(u_{n}) với u_{n}= \frac{2n+1}{n+2}$
Lời giải
Ta có: ${u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) – 3}}{{n + 2}} = 2 – \frac{3}{{n + 2}}$
$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:
$n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 2 – \frac{3}{{n + 2}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2$. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên.
$n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le \frac{3}{3} \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 2}} \le 1 \Leftrightarrow 2 – \frac{3}{{n + 2}} \ge 2 – 1 \Leftrightarrow {u_n} \ge 1$
Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.
Giải bài 11 trang 62 Toán 11 tập 1
Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng $(u_{n}) ,$ biết:
a) $\left\{\begin{matrix}5u_{1}+10u_{5}=0\\S_{4}=14\end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix}u_{7}+u_{15}=60\\u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170\end{matrix}\right.$
Lời giải
a)
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = – 3\end{array} \right.\end{array}$
Vậy cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 8$ và công sai $d = – 3$.
b)
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 – 10{\rm{d}}$ thế vào (2) ta được:
$\begin{array}{l}{\left( {30 – 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 – 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 – 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 – 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} – 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} – 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}$
Với $d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 – 10.3 = 0$.
Với $d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 – 10.\frac{{21}}{5} = – 12$.
Vậy có hai cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn:
‒ Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 0$ và công sai $d = 3$.
‒ Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = – 12$ và công sai $d = \frac{{21}}{5}$.
Giải bài 12 trang 62 Toán 11 tập 1
Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công bội q của cấp số nhận $(u_{1})$, biết:
a) $\left\{\begin{matrix}u_{5}=96\\u_{6}=192\end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix}u_{4}+u_{2}=72\\u_{5}+u_{3}=144\end{matrix}\right.$
Lời giải
a) $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.$
Vậy cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 6$ và công bội $q = 2$.
b)
$\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 60\\{u_5} – {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 60\\{u_1}.{q^4} – {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 60\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} – 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.$
Do ${u_1} = 0$ và $q = 0$ không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
$\frac{{q\left( {{q^2} – 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} – 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} =\frac{{12}}{{5}} \Leftrightarrow 5q\left( {{q^2} – 1} \right) = 12\left( {{q^2} + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 5{q^3} – 12q = 5{q^2} + 12 \Leftrightarrow 5{q^3} – 12{q^2} – 5q – 12 = 0 \Leftrightarrow q=3$ thế vào (1) ta được ${u_1}=2$.
Vậy cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = 3$.
Giải bài 13 trang 62 Toán 11 tập 1
Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110 000 cá thể, quần thể này có tỉ lệ sinh là 12%/năm, xuất cư là 2%/năm, tử vong là 8%/năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.
Lời giải
Mỗi năm số cá thể của quần thể này tăng: $12\% – 2\% – 8\% = 2\% $.
Giả sử số cá thể của quần thể đó là dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 110000$.
Ta có:
$\begin{array}{l}{u_1} = 110000\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{2}{{100}} = {u_1}.1,02\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{2}{{100}} = {u_2}.1,02\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{2}{{100}} = {u_3}.1,02\\ \vdots \\{u_n} = {u_{n – 1}} + {u_{n – 1}}.\frac{2}{{100}} = {u_{n – 1}}.1,02\end{array}$
Vậy số cá thể của quần thể đó tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 110000$ và công bội $q = 1,02$.
Số cá thể của quần thể đó sau hai năm là: ${u_3} = {u_1}.{q^2} = 110000.1,{02^2} = 114444$ (cá thể).
Giải bài 14 trang 62 Toán 11 tập 1
Một cây đàn organ có tần số âm thanh các phím liên tiếp tạo thành một cấp số nhân. Cho biết tần số phím La Trung là 400 Hz và tần số phím La Cao cao hơn 12 phím là 800 Hz. Tìm công bội của cấp số nhân nói trên.
Lời giải
Giả sử tần số âm thanh từ phím La Trung đến phím La Cao tạo thành một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$.
Theo đề bài ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\{u_{13}} = 800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\{u_1}.{q^{12}} = 800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\400{q^{12}} = 800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\{q^{12}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 400\\q \approx 1,059\end{array} \right.$
Vậy công bội của cấp số nhân đó là $q \approx 1,059$.
Giải Bài 15 trang 62 Toán 11 tập 1
Dân số Việt Nam năm 2020 là khoảng 97,6 triệu người (theo Niên giảm thống kê năm 2020). Nếu trung bình mỗi năm tăng 1,14% thì ước tính dân số Việt Nam năm 2040 là khoảng bao nhiêu người (làm tròn kết quả đến hàng trăm nghìn)
Lời giải
Giả sử dân số Việt Nam từ năm 2020 là dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 97,6$.
Ta có:
$\begin{array}{l}{u_1} = 97,6\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_n} = {u_{n – 1}} + {u_{n – 1}}.\frac{{1,14}}{{100}} = {u_{n – 1}}\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)\end{array}$
Vậy dân số Việt Nam từ năm 2020 tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 97,6$ và công bội $q = 1 + \frac{{1,14}}{{100}}$.
Dân số Việt Nam vào năm 2040 là: ${u_{21}} = {u_1}.{q^{20}} = 97,6.{\left( {1 + \frac{{1,14}}{{100}}} \right)^{20}} \approx 122,4$ (triệu người).