Toán 11 tập 1 trang 56 Bài 3: Cấp số nhân

Giải toán 11 tập 1 trang 56 Bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 53 toán 11 tập 1

HĐ 1 trang 53 toán 11 tập 1

Cho dãy số $\frac{1}{3};\,\,1;\,\,3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;\,\,243$

Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Lời giải:

– Số thứ hai = số thứ nhất × 3

– Số thứ ba = số thứ hai × 3

…

– Số thứ bảy = Số thứ sau × 3

LT – VD 1 trang 53 toán 11 tập 1

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = – 6, u_2 = – 2$.

a) Tìm công bội q.

b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó.

Lời giải:

a) $(u_n)$ là cấp số nhân có công bội $q = \frac{u_2}{u_1}=\frac{−2}{−6}=\frac{1}{3}$.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

$u_1 = – 6, u_2 = – 2; u_3=(-2).(\frac{1}{3})=\frac{−2}{3}; u_4=\frac{−2}{3}.(\frac{1}{3})^3=\frac{2}{9}; u_5=\frac{2}{9}.(\frac{1}{3})^4=\frac{-2}{27}$

Trang 54 toán 11 tập 1

LT – VD 2 trang 54 toán 11 tập 1

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3.2^n (n ≥ 1)$. Dãy $(u_n)$ có là cấp số nhân không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: $u_{n+1} = 3.2^{n+1}$

⇒ $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3.2^{n+1}}{3.2^n} = 2$ với n ≥ 1

Vì vậy dãy $(u_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 6$ và công bội q = 2.

HĐ 2 trang 54 toán 11 tập 1

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$, công bội q

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo ${u_1}$ và q

b) Dự đoán công thức tính ${u_n}$ theo ${u_1}$ và q

Lời giải:

a) Ta có:

– Số hạng thứ nhất: ${u_1}$

– Số hạng thứ hai: ${u_2} = {u_1}.q$

– Số hạng thứ ba: ${u_3} = {u_2}.q = \left( {{u_1}.q} \right).q = {u_1}.{q^2}$

– Số hạng thứ tư: ${u_4} = {u_3}.q = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).q = {u_1}.{q^3}$

– Số hạng thứ năm: ${u_5} = {u_4}.q = \left( {{u_1}.{q^3}} \right).q = {u_1}.{q^4}$

b) Dự đoán công thức tính: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$

Trang 55 toán 11 tập 1

LT – VD 3 trang 55 toán 11 tập 1

Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).

Lời giải:

Số tiền ban đầu $T_1 = 100$ (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

$T_2 = 100 + 100.6\% = 100.(1 + 6\%) $ (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

$T_3 = 100.(1 + 6\%) + 100.(1 + 6\%).6\% = 100.(1 + 6\%)^2$ (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

$T_4 = 100.(1 + 6\%)^2 + 100.(1 + 6\%)^2.6\% = 100.(1 + 6\%)^3$ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu $T_1 = 100$ và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

$T_{n + 1} = 100.(1 + 6\%)^n$ (triệu đồng).

HĐ 3 trang 55 toán 11 tập 1

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$, công bội $q \ne 1$

Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^{n – 1}}$

a) Tính ${S_n}.q$ và ${S_n} – {S_n}.q$

b) Từ đó, hãy tìm công thức tính ${S_n}$ theo ${u_1}$ và q

Lời giải:

a) Ta có:

${S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^{n – 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)$

$\begin{array}{l}{S_n} – {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^{n – 1}} – {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}}} \right) – {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}} – \left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)\end{array}$

b) Ta có: ${S_n} – {S_n}.q = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 – q} \right) = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{\left( {1 – q} \right)}}$

LT – VD 4 trang 55 toán 11 tập 1

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; … với n = 12.

b) $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},…$ với n = 5.

Lời giải:

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; … là cấp số nhân với $u_1 = 3$ và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_{12}=\frac{3(1−(−2)^{12})}{1−(−2)} = -4095 $.

b) Ta có: $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},…$ là một cấp số nhân với $u_1 = \frac{1}{10} $ và công bội $q=\frac{1}{10}$.

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

$S_5=\frac{\frac{1}{10}(1-(\frac{1}{10})^5)}{1−\frac{1}{10}}= 0,1111$.

Trang 56 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) $5; -0,5; 0,05; -0,005; 0,0005$;

b) $-9, 3, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{9}$;

c) $2, 8, 32, 64, 256$.

Bài giải:

a) Vì $\frac{-0,5}{5}=\frac{0,05}{-0,5}=\frac{-0,005}{0,05}=\frac{0,0005}{-0,005}=-\frac{1}{10}$ nên dãy số đã cho là cấp số nhân với $q=-\frac{1}{10}$.

b) Vì $\frac{3}{-9}=\frac{-1}{3}=\frac{\frac{1}{3}}{-1}=\frac{\frac{-1}{9}}{\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}$ nên dãy số đã cho là cấp số nhân với $q=-\frac{1}{3}$.

c) Vì $\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=\frac{256}{64}\neq \frac{64}{32}$ nên dãy số đã cho không phải là cấp số nhân.

Bài 2 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Chứng minh mỗi dãy số ($u_{n}$) với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân:

a) $u_{n}=\frac{-3}{4}.2^{n}$;

b) $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$;

c) $u_{n}=(-0.75)^{n}$.

Bài giải:

a) Với $n=1; 2; 3; 4$;… ta được dãy số $-\frac{3}{2}; -3;-6;-12$;…

Do đó, $u_{n}=\frac{-3}{4}.2^{n}$ là cấp số nhân với $q=2$.

b) Với $n=1; 2; 3; 4$;… ta được dãy số $\frac{5}{3};\frac{5}{9};\frac{5}{27};\frac{5}{81}$;…

Do đó, $u_{n}=\frac{5}{3^{n}}$ là cấp số nhân với $q=\frac{1}{3}$.

c) Với $n=1; 2; 3; 4$;… ta được dãy số $-\frac{3}{4};\frac{9}{16};-\frac{27}{64};\frac{81}{256}$;…

Do đó, $u_{n}=(-0.75)^{n}$ là cấp số nhân với $q=-\frac{3}{4}$

Bài 3 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số nhân ($u_{n}$) với số hạng đầu $u_{n}=-5$, công bội $q=2$.

a) Tìm $u_{9}$.

b) Số $-320$ là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?

c) Số $160$ có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Bài giải:

a) Ta có số hạng tổng quát: $u_{n}=u_{1}.q^{n-1}=-5.2^{n-1}$.

Do đó: $u_{9}=(-5).2^{9-1}=-1280$.

b) Ta có: $-5.2^{n-1}=-320 \Leftrightarrow n=7$. Vậy -320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân trên.

c) Số 160 không phải là số hạng của cấp số nhân trên.

Bài 4 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số nhân ($u_{n}$) với $u_{1}=3, u_{3}=\frac{27}{4}$.

a) Tìm công bội $q$ và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.

Bài giải:

a) $u_{3}= 3.q^{2}=\frac{27}{4}\Leftrightarrow q^{2}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow q=\pm \frac{3}{2}$

$q=\frac{3}{2}\Rightarrow$ Năm số hạng đầu: $3;\frac{9}{2};\frac{27}{4};\frac{81}{8};\frac{243}{16}$

$q=-\frac{3}{2}\Rightarrow$ Năm số hạng đầu: $3;-\frac{9}{2};\frac{27}{4};-\frac{81}{8};\frac{243}{16}$

b) $q=\frac{3}{2}\Rightarrow S_{10}=\frac{3.\left [ 1-(\frac{3}{2})^{10} \right ]}{1-\frac{3}{2}}=339,99$

$q=-\frac{3}{2}\Rightarrow S_{10}=\frac{3.\left [ 1-(-\frac{3}{2})^{10} \right ]}{1+\frac{3}{2}}=-67,998$

 Bài 5 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi $u_{n}$ là dân số của tỉnh đó sau $n$ năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau $n$ năm kể từ năm 2020.

b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.

Bài giải:

a) $u_{n}=2.0,01^{n-1}$ (triệu dân)

b) $u_{10}=2.0,01^{9}=\frac{2}{100^{9}}$ (triệu dân)

Bài 6 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).

a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.

b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau $n$ năm sử dụng.

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Bài giải:

a) Sau 1 năm sử dụng, giá trị ô tô là: $u_{1}=800(1-0,04)$

Sau 2 năm sử dụng, giá trị ô tô là: $u_{2}=800(1-0,04)^{2}$

b) Giá trị ô tô sau n năm sử dụng là: $u_{n}=800(1-0,04)^{n}$

c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính là: $u_{10}=800(1-0,04)^{10}$

Bài 7 trang 56 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống.

Bài giải:

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên lại rơi xuống là: $S_{10}=\frac{100(1-0,75^{10})}{1-0,75}$